Версия для печати
Убрать все задачи

---

По заданной последовательности положительных чисел  q₁,..., q_n, ...  строится последовательность многочленов следующим образом:
    f₀(x) = 1,
    f₁(x) = x,
      ...
    f_n+1(x) = (1 + q_n)xf_n(x) – q_nf_n–1(x).
Докажите, что все вещественные корни n-го многочлена заключены между –1 и 1.

   Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 178]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78561

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Многочлены (прочее) ] [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

X – число, большее 2. Некто пишет на карточках числа:   1, X, X², X³, X⁴, ..., X^k (каждое число только на одной карточке). Потом часть карточек он кладёт себе в правый карман, часть   в левый, остальные выбрасывает. Докажите, что сумма чисел в правом кармане не может быть равна сумме чисел в левом.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78563

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Многочлены (прочее) ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Все коэффициенты многочлена равны 1, 0 или –1.
Докажите, что все его действительные корни (если они существуют) заключены в отрезке  [–2, 2].

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78667

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Индукция (прочее) ] [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 11

По заданной последовательности положительных чисел  q₁,..., q_n, ...  строится последовательность многочленов следующим образом:
    f₀(x) = 1,
    f₁(x) = x,
      ...
    f_n+1(x) = (1 + q_n)xf_n(x) – q_nf_n–1(x).
Докажите, что все вещественные корни n-го многочлена заключены между –1 и 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79430

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 9

Доказать, что при любых  x >   и  y >   выполняется неравенство  x⁴ – x³y + x²y² – xy³ + y⁴ > x² + y².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79435

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10

Доказать, что при любой расстановке знаков "+" и "−" у нечётных степеней x выполнено неравенство
x²ⁿ ± x^2n–1 + x^2n–2 ± x^2n–3 + ... + x⁴ ± x³ + x² ± x + 1 > ½  (x – произвольное действительное число, а n – натуральное).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 178]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями