Страница:
<< 109 110 111 112
113 114 115 >> [Всего задач: 1221]
|
|
Сложность: 3+ Классы: 7,8,9
|
Можно ли расставить на окружности числа
1, 2...12 так, чтобы разность между
двумя рядом стоящими числами была 3, 4 или 5?
На плоскости даны три точки. Из них выбираются любые две, строится серединный
перпендикуляр к отрезку, их соединяющему, и все точки отражаются относительно
этой прямой, затем из всех точек (старых и новых) снова выбираются какие-то две
точки и вся процедура повторяется. Так делается бесконечно много раз. Доказать,
что в плоскости найдётся такая прямая, что все полученные точки будут лежать
по одну сторону от нее.
Двое играют в следующую игру. Каждый игрок по очереди вычёркивает 9 чисел (по
своему выбору) из последовательности 1, 2, 3, ..., 100, 101. После
одиннадцати таких вычёркиваний останутся два числа. Затем второй игрок
присуждает первому столько очков, какова разница между этими оставшимися
числами. Доказать, что первый игрок всегда сможет набрать по крайней мере 55
очков, как бы ни играл второй.
Доказать, что максимальное количество сторон выпуклого многоугольника, стороны
которого лежат на диагоналях данного выпуклого 100-угольника, не больше 100.
На шахматной доске
20×20 стоят 10 ладей и один король. Король не
стоит под шахом и идёт из левого угла в правый верхний по диагонали. Ходят по
очереди: сначала король, потом одна из ладей. Доказать, что при любом
начальном расположении ладей и любом способе маневрирования ими король
попадёт под шах.
Страница:
<< 109 110 111 112
113 114 115 >> [Всего задач: 1221]