Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Геометрические неравенства >> Неравенство треугольника >> Алгебраические задачи на неравенство треугольника
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 21 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Авторы: Агаханов Н.Х., Подлипский О.К.

Пусть P(x) – многочлен степени  n ≥ 2  с неотрицательными коэффициентами, а a, b и c – длины сторон некоторого остроугольного треугольника.
Докажите, что числа    также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.

Вниз   Решение

На прямой даны четыре точки A, B, C, D в указанном порядке. Постройте точку M, из которой отрезки AB, BC, CD видны под равными углами.

ВверхВниз   Решение

В равнобедренном треугольнике ABC известны, что AC = 4, AB = BC = 6. Биссектриса угла C пересекает сторону AB в точке D. Через точку D проведена окружность, касающаяся стороны AC в её середине и пересекающая отрезок AD в точке E. Найдите площадь треугольника DEC.

ВверхВниз   Решение

Последовательность чисел {an} задана условиями

a1 = 1,        an + 1 = an + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$    (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Верно ли, что эта последовательность ограничена?

ВверхВниз   Решение

На медиане BM и на биссектрисе BK треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки D и E так, что DK || AB и EM || BC. Докажите, что ED$ \bot$BK.

ВверхВниз   Решение

Центр окружности, касающейся стороны BC треугольника ABC в точке B и проходящей через точку A, лежит на отрезке AC. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что BC = 6 и AC = 9.

ВверхВниз   Решение

Расстояние от точки M до центра O окружности равно диаметру этой окружности. Через точку M проведены две прямые, касающиеся окружности в точках A и B. Найдите углы треугольника AOB.

ВверхВниз   Решение

Сходимость итерационного процесса. Предположим, что функция f (x) отображает отрезок [a;b] в себя, и на этом отрезке | f'(x)| $ \leqslant$ q < 1. Докажите, что уравнение f (x) = x имеет на отрезке [a;b] единственный корень x*. Докажите, что при решении этого уравнения методом итераций будут выполняться неравенства:

| xn + 1 - xn| $\displaystyle \leqslant$ | x1 - x0| . qn,    | x* - xn| $\displaystyle \leqslant$ | x1 - x0| . $\displaystyle {\frac{q^n}{1-q}}$.


ВверхВниз   Решение

Сколькими способами можно прочитать слово "строка", двигаясь вправо или вниз?:
С Т Р О К А
Т Р О К А
Р О К А
О К А
К А
А

ВверхВниз   Решение

Касательная и секущая, проведённые из одной точки к окружности, взаимно перпендикулярны. Касательная равна 12, а внутренняя часть секущей равна 10. Найдите радиус окружности.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что у многочлена 2Tn(x/2) старший коэффициент равен единице, а все остальные коэффициенты – целые числа.
Здесь Tn – многочлен Чебышёва, смотри задачу 61099.

ВверхВниз   Решение

Автор: Богданов И.И.

Длина каждой стороны выпуклого четырёхугольника ABCD не меньше 1 и не больше 2. Его диагонали пересекаются в точке O.
Докажите, что SAOB + SCOD ≤ 2(SAOD + SBOC).

ВверхВниз   Решение

Докажите, что бесконечная десятичная дробь 0,1234567891011121314... (после запятой подряд выписаны все натуральные числа по порядку) представляет собой иррациональное число.

ВверхВниз   Решение

Автор: Шаповалов А.В.

За круглым столом сидят десять человек, перед каждым – несколько орехов. Всего орехов – сто. По общему сигналу каждый передаёт часть своих орехов соседу справа: половину, если у него (у того, кто передаёт) было чётное число, или один орех плюс половину остатка – если нечётное число. Такая операция проделывается второй раз, затем третий и так далее, до бесконечности. Докажите, что через некоторое время у всех станет по десять орехов.

ВверхВниз   Решение

В большей из двух концентрических окружностей проведена хорда, равная 32 и касающаяся меньшей окружности. Найдите радиус каждой из окружностей, если ширина образовавшегося кольца равна 8.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что  2n > (1 – x)n + (1 + x)n  при целом  n ≥ 2  и  |x| < 1.

ВверхВниз   Решение

Автор: Ивлев Ф.

Дан прямоугольный треугольник ABC. Пусть M – середина гипотенузы AB, O – центр описанной окружности ω треугольника CMB. Прямая AC вторично пересекает окружность ω в точке K. Прямая KO пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке L. Докажите, что прямые AL и KM пересекаются на описанной окружности треугольника ACM.

ВверхВниз   Решение

Автор: Серов М.

Пять отрезков таковы, что из любых трех из них можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.

ВверхВниз   Решение

Найти корни уравнения   

ВверхВниз   Решение

Летела стая гусей, а навстречу им летит один гусь и говорит: "Здравствуйте, сто гусей!" Вожак стаи отвечает ему: "Нет, нас не сто гусей! Вот, если бы нас было столько, сколько есть, да еще столько, да еще полстолька, де еще четверть столька, да ты, гусь, с нами, вот тогда нас было бы сто гусей, а так..." Сколько же гусей было в стае?

ВверхВниз   Решение

Все значения квадратного трёхчлена  ax² + bx + c  на отрезке  [0, 1]  по модулю не превосходят 1.
Какое наибольшее значение при этом может иметь величина  |a| + |b| + |c|?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 30]      

  с решениями  

Задача 66160

Темы:   [ Многочлены (прочее) ]
[ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Авторы: Агаханов Н.Х., Подлипский О.К.

Пусть P(x) – многочлен степени  n ≥ 2  с неотрицательными коэффициентами, а a, b и c – длины сторон некоторого остроугольного треугольника.
Докажите, что числа    также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 79553

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Неравенства с модулями ]
[ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10

Все значения квадратного трёхчлена  ax² + bx + c  на отрезке  [0, 1]  по модулю не превосходят 1.
Какое наибольшее значение при этом может иметь величина  |a| + |b| + |c|?

Прислать комментарий     Решение

Задача 61038

Темы:   [ Теорема Виета ]
[ Симметрические многочлены ]
[ Кубические многочлены ]
[ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть известно, что все корни некоторого уравнения  x3 + px2 + qx + r = 0  положительны. Какому дополнительному условию должны удовлетворять его коэффициенты p, q и r для того, чтобы из отрезков, длины которых равны этим корням, можно было составить треугольник?

Прислать комментарий     Решение

Задача 57315

Темы:   [ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Теорема косинусов ]
[ Неравенства для остроугольных треугольников ]
[ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]
[ Доказательство от противного ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Серов М.

Пять отрезков таковы, что из любых трех из них можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из этих треугольников остроугольный.
Прислать комментарий     Решение

Задача 109860

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Галочкин А.И.

Для углов α , β , γ справедливо равенство sinα + sinβ + sinγ 2 . Докажите, что cosα + cosβ + cosγ .
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 30]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .