Бесконечные возрастающие арифметические прогрессии $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ и $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots$ состоят из положительных чисел. Известно, что отношение $\frac{a_{k}}{b_{k}}$ целое при любом $k$. Верно ли, что это отношение не зависит от $k$?

   Решение

Докажите, что = tgtg.

   Решение

Около трапеции ABCD описана окружность, центр которой лежит на основании AD. Найдите площадь трапеции, если AB = , AC = 1.

   Решение

Из вершин основания тетраэдра в боковых гранях провели высоты, а затем в каждой из боковых граней основания двух лежащих в ней высот соединили прямой. Докажите, что эти три прямые параллельны одной плоскости.

   Решение

Из двух математиков и десяти экономистов надо составить комиссию из восьми человек.
Сколькими способами можно составить комиссию, если в неё должен входить хотя бы один математик?

   Решение

Докажите, что  + + = .

   Решение

Может ли во время шахматной партии на каждой из 30 диагоналей оказаться нечётное число фигур?

   Решение

Требуется заполнить числами квадратную таблицу из n×n клеток так, чтобы сумма чисел на каждой из  4n – 2  диагоналей равнялась 1. Можно ли это сделать при
  а)  n = 55?
  б)  n = 1992?

   Решение

Окружность с центром в вершине прямого угла прямоугольного треугольника радиуса, равного меньшему катету, делит гипотенузу на отрезки в 98 и 527 (начиная от меньшего катета). Найдите катеты.

   Решение

Докажите, что существует бесконечное число пар таких соседних натуральных чисел, что разложение каждого из них содержит любой простой сомножитель не менее чем во второй степени. Примеры таких пар чисел:  (8, 9),  (288, 289).

   Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 187]      

Найдите все такие натуральные k, что произведение первых k простых чисел, уменьшенное на 1, является точной степенью натурального числа (большей чем первая).

Прислать комментарий

Решение

Найдите все такие натуральные k, что произведение первых k нечётных простых чисел, уменьшенное на 1, является точной степенью натурального числа (большей, чем первая).

Прислать комментарий

Решение

Из первых k простых чисел  2, 3, 5, ..., p_k  (k > 5)  составлены всевозможные произведения, в которые каждое из чисел входит не более одного раза (например,  3·5, 3·7·... ·p_k, 11  и т. д.). Обозначим сумму всех таких чисел через S. Доказать, что  S + 1  разлагается в произведение более 2k простых сомножителей.

Прислать комментарий

Решение

Известно, что  aⁿ – bⁿ  делится на n (a, b, n – натуральные числа,  a ≠ b).  Доказать, что делится на n.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что существует бесконечное число пар таких соседних натуральных чисел, что разложение каждого из них содержит любой простой сомножитель не менее чем во второй степени. Примеры таких пар чисел:  (8, 9),  (288, 289).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 187]