Фильтр
Выбрано 12 задач Убрать все задачи
Известно, что среди нескольких монет имеется ровно одна фальшивая
(отличается по весу от настоящих). С помощью двух взвешиваний на чашечных
весах без гирь определите, легче или тяжелее фальшивая монета настоящей
(находить ее не надо), если монет
а) 100;
б) 99;
в) 98?
В квадрате со стороной 1 проведено конечное количество отрезков, параллельных его сторонам. Отрезки могут пересекать друг друга. Сумма длин проведенных отрезков равна 18. Докажите, что среди частей, на которые разбивается квадрат этими отрезками, найдётся такая, площадь которой не меньше 0,01.
Докажите равенство
Внутри равностороннего треугольника со стороной 1
расположено пять точек. Докажите, что расстояние между
некоторыми двумя из них меньше 0, 5.
Вычислите производящие функции следующих последовательностей:
а) б)
Даны два набора из n вещественных чисел: a1, a2, ..., an и b1, b2, ..., bn. Докажите, что если выполняется хотя бы одно из двух условий:
а) из ai < aj следует, что bi ≤ bj;
б) из ai < a < aj, где a = 1/n (a1 + a2 + ... + an), следует, что bi ≤ bj,
то верно неравенство n(a1 b1 + a2b2 + ... + anbn) ≥ (a1 + a2 + ... + an)(b1 + b2 + ... + bn).
Какое слагаемое в разложении (1 + )100 по формуле бинома Ньютона будет наибольшим?
В разложении (x + y)n по формуле бинома Ньютона второй член оказался равен 240, третий – 720, а четвёртый – 1080. Найдите x, y и n.
Докажите, что если p – простое число и 1 ≤ k ≤ p – 1, то делится на p.
На плоскости даны 25 точек; известно, что из любых трёх точек можно выбрать две, расстояние между которыми меньше 1. Доказать, что среди данных точек найдутся 13, лежащие в круге радиуса 1.
На координатной плоскости отмечены некоторые точки с целыми координатами. Известно, что никакие четыре из них не лежат на одной окружности. Докажите, что найдётся круг радиуса 1995, в котором не отмечено ни одной точки.
Задачи Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 126]
Задача 66511 |
|
|
Вокруг круглого озера через равные промежутки растут 2019 деревьев: 1009 сосен и 1010 ёлок. Докажите, что обязательно найдется дерево, рядом с которым растёт сосна и с другой стороны от которого через одно дерево тоже растёт сосна.
|
|
Решение |
Задача 115384 |
|
|
Легко разместить комплект кораблей для игры
в "Морской бой" на доске 10× 10 (см. рис.). А на какой
наименьшей квадратной доске можно разместить этот комплект?
(Напомним, что согласно правилам корабли не должны соприкасаться даже
углами.)
|
|
|
Решение |
Задача 79292 |
|
|
Шарообразная планета окружена 37-ю точечными астероидами. Доказать, что в любой момент на поверхности планеты найдётся точка, из которой астроном не сможет наблюдать более 17 астероидов.
Примечание. Астероид, расположенный на линии горизонта, не виден.
|
|
|
Решение |
Задача 98267 |
|
|
На координатной плоскости отмечены некоторые точки с целыми координатами. Известно, что никакие четыре из них не лежат на одной окружности. Докажите, что найдётся круг радиуса 1995, в котором не отмечено ни одной точки.
|
|
Решение |
Задача 109937 |
|
|
Имеется таблица n×n, в n – 1 клетках которой записаны единицы, а в остальных клетках – нули. С таблицей разрешается проделывать следующую операцию: выбрать клетку, вычесть из числа, стоящего в этой клетке, единицу, а ко всем остальным числам, стоящим в одной строке или в одном столбце с выбранной клеткой, прибавить единицу. Можно ли из этой таблицы с помощью указанных операций получить таблицу, в которой все числа равны?
|
|
|
Решение |
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 126]
