Каталог по темам

Задачи

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 151]

Задача 98320

Темы:	[	Разные задачи на разрезания	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Шаповалов А.В.

а) Квадрат разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 3 и 4 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.

б) Прямоугольник разрезан на равные прямоугольные треугольники с катетами 1 и 2 каждый. Докажите, что число треугольников чётно.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109753

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
	[	Скалярное произведение. Соотношения	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Берлов С.Л.

На плоскости отмечено несколько точек. Для любых трех из них существует декартова система координат (т.е. перпендикулярные оси и общий масштаб), в которой эти точки имеют целые координаты. Докажите, что существует декартова система координат, в которой все отмеченные точки имеют целые координаты.

Прислать комментарий Решение

Задача 109777

Темы:	[	Кубические многочлены	]
	[	Теорема Виета	]
	[	Формула Герона	]
	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Длины сторон треугольника являются корнями кубического уравнения с рациональными коэффициентами.
Докажите, что длины высот треугольника являются корнями уравнения шестой степени с рациональными коэффициентами.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60868

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Метод спуска	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Дан лист клетчатой бумаги. Докажите, что при n ≠ 4 не существует правильного n-угольника с вершинами в узлах решетки.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73787

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Приближения чисел	]
	[	Тригонометрия (прочее)	]

Сложность: 7
Классы: 9,10,11

Автор: Гальперин Г.А.

а) На плоскости лежит правильный восьмиугольник. Его разрешено "перекатывать" по плоскости, переворачивая (симметрично отражая) относительно любой стороны. Докажите, что для любого круга можно перекатить восьмиугольник в такое положение, что его центр окажется внутри круга.
б) Решите аналогичную задачу для правильного пятиугольника.
в) Для каких правильных n-угольников верно аналогичное утверждение?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 151]