Версия для печати
Убрать все задачи

---

Отрезок AB пересекает две равные окружности и параллелен их линии центров, причём все точки пересечения прямой AB с окружностями лежат между A и B. Через точку A проводятся касательные к окружности, ближайшей к A, через точку B – касательные к окружности, ближайшей к B. Оказалось, что эти четыре касательные образуют четырёхугольник, содержащий внутри себя обе окружности. Докажите, что в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

   Решение

---

На плоскости отмечено N 3 различных точек. Известно, что среди попарных расстояний между отмеченными точками встречаются не более n различных расстояний. Докажите, что N (n+1)² .

   Решение

---

Клетки квадратной таблицы 15×15 раскрашены в красный, синий и зелёный цвета.
Докажите, что найдутся, по крайней мере, две строки, в которых клеток хотя бы одного цвета поровну.

   Решение

---

Имеются плашки (вырезанные из картона прямоугольники) размера 2×1. На каждой плашке нарисована одна диагональ. Есть плашки двух сортов, так как диагональ можно расположить двумя способами, причём плашек каждого сорта имеется достаточно много. Можно ли выбрать 32 плашки и сложить из них квадрат 8×8 так, чтобы концы диагоналей нигде не совпали?

   Решение

Страница: << 143 144 145 146 147 148 149 >> [Всего задач: 1032]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78524

Темы:   [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Гомотетичные многоугольники ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

В четырёхугольнике ABCD опущены перпендикуляры AM и CP на диагональ BD, а также BN и DQ на диагональ AC.
Доказать, что четырёхугольники ABCD и MNPQ подобны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98448

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Имеются плашки (вырезанные из картона прямоугольники) размера 2×1. На каждой плашке нарисована одна диагональ. Есть плашки двух сортов, так как диагональ можно расположить двумя способами, причём плашек каждого сорта имеется достаточно много. Можно ли выбрать 18 плашек и сложить из них квадрат 6×6 так, чтобы концы диагоналей нигде не совпали?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98453

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Имеются плашки (вырезанные из картона прямоугольники) размера 2×1. На каждой плашке нарисована одна диагональ. Есть плашки двух сортов, так как диагональ можно расположить двумя способами, причём плашек каждого сорта имеется достаточно много. Можно ли выбрать 32 плашки и сложить из них квадрат 8×8 так, чтобы концы диагоналей нигде не совпали?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 102881

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Четность и нечетность ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Докажите, что число способов расставить на шахматной доске максимальное число ферзей чётно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105110

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Свойства симметрии и центра симметрии ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Приведите пример многочлена P(x) степени 2001, для которого  P(x) + P(1 – x) ≡ 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 143 144 145 146 147 148 149 >> [Всего задач: 1032]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями