Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) Пусть = + . Докажите, что точки a, b, c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда a + b + c = 0 или a + b + c = 0.
б) Докажите, что точки a, b, c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда a² + b² + c² = ab + bc + ac.

   Решение

---

Во вписанном четырёхугольнике ABCD прямая Симсона точки A относительно треугольника BCD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника BCD. Докажите, что прямая Симсона точки B относительно треугольника ACD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника ACD.

   Решение

---

Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от всех вершин нижнего основания и находится на расстоянии b от этого основания. Сторона основания равна a . Найдите полную поверхность параллелепипеда.

   Решение

---

В окружность вписаны две равнобедренные трапеции с соответственно параллельными сторонами. Докажите, что диагональ одной из них равна диагонали другой трапеции.

   Решение

---

Целые ненулевые числа a₁, a₂, ..., a_n таковы, что равенство

выполнено при всех целых значениях x, входящих в область определения дроби, стоящей в левой части.
  a) Докажите, что число n чётно.
  б) При каком наименьшем n такие числа существуют?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98588

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ] [ Классические неравенства (прочее) ] [ Монотонность, ограниченность ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Пусть x, y, z – любые числа из интервала  (0, ^π/₂).  Докажите неравенство  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98505

Темы:   [ Рациональные функции (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Монотонность, ограниченность ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Целые ненулевые числа a₁, a₂, ..., a_n таковы, что равенство

выполнено при всех целых значениях x, входящих в область определения дроби, стоящей в левой части.
  a) Докажите, что число n чётно.
  б) При каком наименьшем n такие числа существуют?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65855

Темы:   [ Теорема синусов ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Монотонность, ограниченность ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На биссектрисе AA₁ треугольника ABC выбрана точка X. Прямая BX пересекает сторону AC в точке B₁, а прямая CX пересекает сторону AB в точке C₁. Отрезки A₁B₁ и CC₁ пересекаются в точке P, а отрезки A₁C₁ и BB₁ пересекаются в точке Q. Докажите, что углы PAC и QAB равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67002

Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Монотонность, ограниченность ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Можно ли замостить плоскость параболами, среди которых нет равных? (Требуется, чтобы каждая точка плоскости принадлежала ровно одной параболе и чтобы ни одна парабола не переводилась ни в какую другую параболу движением.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109565

Темы:   [ Иррациональные уравнения ] [ Монотонность и ограниченность ] [ Монотонность, ограниченность ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Докажите, что если (x+)(y+)=1 , то x+y=0 .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями