Фильтр
Выбрано 16 задач Убрать все задачи
Две окружности касаются друг друга внешним образом. Четыре точки A, B, C и D касания их общих внешних касательных последовательно соединены. Докажите, что в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность и найдите её радиус, если радиусы данных окружностей равны R и r.
a, b, c – такие три числа, что abc > 0 и a + b + c > 0. Доказать, что an + bn + cn > 0 при любом натуральном n.
Дана трапеция ABCD с основаниями
AD = 3 и
BC =
.
Кроме того дано, что угол BAD равен
30o, а угол ADC равен
60o.
Через точку D проходит прямая, делящая трапецию на две
равновеликие фигуры. Найдите длину отрезка этой прямой,
находящегося внутри трапеции.
В ящиках лежат орехи. Известно, что в среднем в каждом ящике 10 орехов, а среднее арифметическое квадратов чисел орехов в ящиках меньше 1000. Докажите, что по крайней мере 10% ящиков не пустые.
Точка M лежит на стороне AB треугольника ABC, AM = a, BM = b, CM = c, c < a, c < b.
Найдите наименьший радиус описанной окружности такого треугольника.
Докажите, что если a, b, c, d, x, y, u, v – вещественные числа и abcd > 0, то
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) проведены
биссектрисы AA1, BB1 и CC1. Площадь треугольника ABC
относится к площади треугольника
A1B1C1 как
.
Найдите отношение периметра треугольника
A1B1C1 к периметру
треугольника ABC.
На сторонах AB, BC, CD, DA прямоугольника ABCD взяты соответственно точки K, L, M, N, отличные от вершин. Известно, что
KL || MN и
KM ⊥ NL. Докажите, что точка пересечения отрезков KM и LN лежит на диагонали BD прямоугольника.
Окружность касается одной стороны прямого угла с вершиной O и пересекает вторую сторону в точках A и B. Найдите радиус окружности, если OA = a и OB = b.
Прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей треугольника, перпендикулярна одной из его биссектрис. Известно, что отношение радиуса вписанной окружности к расстоянию между центрами вписанной и описанной окружностей равно равно m. Найдите углы треугольника.
В треугольнике ABC, площадь которого равна S, проведены биссектриса CE и медиана BD, пересекающиеся в точке O. Найдите площадь четырёхугольника ADOE, зная, что BC = a, AC = b.
В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые из вершин острых углов, равны и
. Найдите гипотенузу треугольника.
В четырёхугольнике ABCD ∠B = ∠D = 90° и AC = BC + DC. Точка P на луче BD такова, что BP = AD.
Докажите, что прямая CP параллельна биссектрисе угла ABD.
В треугольнике $ABC$ $N$ – середина дуги $ABC$ описанной окружности треугольника, $NP$ и $NT$ – касательные к вписанной окружности. Прямые $BP$ и $BT$ пересекают второй раз описанную окружность треугольника в точках $P_1$ и $T_1$ соответственно. Докажите, что $PP_1=TT_1$.
Существуют 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого числа (например, 1001! + 2, 1001! + 3, ...,
1001! + 1001).
А существуют ли 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять простых чисел?
Задачи Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 201]
Задача 98282 |
|
|
а) Существуют ли четыре таких различных натуральных числа, что
сумма каждых трёх из них есть простое число?
б) Существуют ли пять таких различных натуральных чисел, что сумма
каждых трёх из них есть простое число?
|
|
Решение |
Задача 98538 |
|
|
Существуют 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого числа (например, 1001! + 2, 1001! + 3, ...,
1001! + 1001).
А существуют ли 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять простых чисел?
|
|
Решение |
Задача 104099 |
|
|
Найдите все простые числа р, для каждого из которых существует такое натуральное число m, что – также натуральное число.
|
|
|
Решение |
Задача 108747 |
|
|
Доказать, что наибольший общий делитель чисел вида p4 – 1, где p – простое число, большее 5, равен 240.
|
|
|
Решение |
Задача 109496 |
|
|
Найдите все возрастающие конечные арифметические прогрессии, которые состоят из простых чисел и у которых количество членов больше чем разность прогрессии.
|
|
|
Решение |
Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 201]
