Каталог по темам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 55]

Задача 111763

Темы:	[	Вычисление производной	]
	[	Неравенства с модулями	]
	[	Квадратный трехчлен (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Квадратные трёхчлены f(x) и g(x) таковы, что f '(x)g'(x) ≥ |f(x)| + |g(x)| при всех действительных x.
Докажите, что произведение f(x)g(x) равно квадрату некоторого трёхчлена.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109882

Темы:	[	Итерации	]
	[	Уравнения с модулями	]
	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Нецветаев Н.

Дана функция f(x) = | 4 - 4|x|| - 2 . Сколько решений имеет уравнение f(f(x)) = x ?

Прислать комментарий Решение

Задача 110748

Темы:	[	Выпуклый анализ и линейное программирование	]
Темы:	[	Неравенства с модулями	]

Сложность: 6-
Классы: 10,11

Даны числа а₁, ..., а_n.
Для 1 ≤ i ≤ n положим

d_i = MAX { a_j | 1 ≤ j ≤ i } - MIN { a_j | i ≤ j ≤ n }
d = MAX { dⁱ | 1 ≤ i ≤ n }

а) Доказать, что для любых x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_n выполняется неравенство

MAX { |x_i - a_i| | 1 ≤ i ≤ n } ≥ d/2.

б) Доказать, что равенство в (*) выполняется для некоторых {x_i} i=1...n

Прислать комментарий

Решение

Задача 86514

Темы:	[	Разложение на множители	]
	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]
	[	Уравнения с модулями	]

Сложность: 2+
Классы: 8,9

На координатной плоскости изобразите все точки, координаты которых являются решениями уравнения: y² – |y| = x² – |x|.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108970

Темы:	[	Выделение полного квадрата. Суммы квадратов	]
	[	Доказательство тождеств. Преобразования выражений	]
	[	Модуль числа (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Доказать, что выражение

+
равно 2, если 1<= a <= 2 , и равно 2 , если a>2 .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 55]