Каталог по темам

Задачи

Страница: << 264 265 266 267 268 269 270 >> [Всего задач: 1371]

Задача 60874

[Число e и комбинаторика]

Темы:	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Число e	]
	[	Раскраски	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Дано N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждые две из этих точек соединены отрезком, и каждый отрезок окрашен в один из k цветов. Докажите, что если N > [k!e], то среди данных точек можно выбрать такие три, что все стороны образованного ими треугольника будут окрашены в один цвет.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65039

Темы:	[	ГМТ (прочее)	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Центр масс (прочее)	]
	[	Центр масс	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Френкин Б.Р.

а) Найдите геометрическое место центров тяжести треугольников, вершины которых лежат на сторонах данного треугольника (по одной вершине внутри каждой стороны).

б) Найдите геометрическое место центров тяжести тетраэдров, вершины которых лежат на гранях данного тетраэдра (по одной вершине внутри каждой грани).

Прислать комментарий

Решение

Задача 65686

Темы:	[	Куб	]
	[	Теорема Пифагора в пространстве	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Разные задачи на разрезания	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Косухин О.Н.

Можно ли четырьмя плоскостями разрезать куб с ребром 1 на части так, чтобы для каждой из частей расстояние между любыми двумя её точками было:
а) меньше ⁴/₅;
б) меньше ⁴/₇?
Предполагается, что все плоскости проводятся одновременно, куб и его части не двигаются.

Прислать комментарий

Решение

Задача 103916

Темы:	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Параллелограмм Вариньона	]
	[	Теорема о группировке масс	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Мякишев А.Г.

Пусть P – точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD, M – точка пересечения прямых, соединяющих середины его противоположных сторон, O – точка пересечения серединных перпендикуляров к диагоналям, H – точка пересечения прямых, соединяющих ортоцентры треугольников APD и BPC, APB и CPD. Доказать, что M – середина OH.

Прислать комментарий

Решение

Задача 107738

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Системы точек и отрезков (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Отмечены четыре вершины квадрата. Отметьте ещё четыре точки так, чтобы на всех серединных перпендикулярах к отрезкам с концами в отмеченных точках лежало по две отмеченные точки.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 264 265 266 267 268 269 270 >> [Всего задач: 1371]