Страница:
<< 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 77]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Куб, состоящий из $(2n)^3$ единичных кубиков, проткнут несколькими спицами, параллельными рёбрам куба. Каждая спица протыкает ровно 2$n$ кубиков, каждый кубик проткнут хотя бы одной спицей.
а) Докажите, что можно выбрать такие $2n^2$ спиц, идущих в совокупности всего в одном или двух направлениях, что никакие две из этих спиц не протыкают один и тот же кубик.
б) Какое наибольшее количество спиц можно гарантированно выбрать из имеющихся так, чтобы никакие две выбранные спицы не протыкали один и тот же кубик?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
На бесконечной шахматной доске через каждые три клетки по
горизонтали и по вертикали стоит фишка. Можно ли обойти конем
оставшуюся часть доски, побывав при этом на каждом поле ровно один
раз?
Разрежьте каждый из равносторонних
треугольников со сторонами 2 и 3 на три части и сложите из всех
полученных частей равносторонний треугольник.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
а) Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника
A1A2A3...An. Рассматриваются углы AiOAj при всевозможных парах (i, j) (i, j – различные натуральные числа от 1 до n). Докажите, что среди этих углов найдётся по крайней мере n – 1 не острых (прямых, тупых или развёрнутых) углов.
б) То же для выпуклого многогранника, имеющего n вершин.
На плоскости расположен круг. Какое наименьшее количество прямых надо провести,
чтобы, симметрично отражая данный круг относительно этих прямых (в любом порядке конечное количество раз),
можно было накрыть им любую заданную точку плоскости?
Страница:
<< 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 77]
Фильтр
