ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 75]      



Задача 66407

Темы:   [ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

Разрежьте каждый из равносторонних треугольников со сторонами 2 и 3 на три части и сложите из всех полученных частей равносторонний треугольник.
Прислать комментарий     Решение


Задача 97890

Темы:   [ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Связность и разложение на связные компоненты ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

а) Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника A1A2A3...An. Рассматриваются углы AiOAj при всевозможных парах  (i, j)  (i, j – различные натуральные числа от 1 до n). Докажите, что среди этих углов найдётся по крайней мере  n – 1  не острых (прямых, тупых или развёрнутых) углов.

б) То же для выпуклого многогранника, имеющего n вершин.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116183

Темы:   [ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
[ Покрытия ]
[ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ]
[ Композиции симметрий ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 5
Классы: 9,10

На плоскости расположен круг. Какое наименьшее количество прямых надо провести, чтобы, симметрично отражая данный круг относительно этих прямых (в любом порядке конечное количество раз), можно было накрыть им любую заданную точку плоскости?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66791

Тема:   [ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
Сложность: 6
Классы: 10,11

На плоскости даны две замкнутые ломаные $a,b$ (возможно, самопересекающиеся) и точки $K$, $L$, $M$, $N$. Вершины ломаных и эти точки находятся в общем положении (т.е. никакие три из них не лежат на прямой и никакие три отрезка, их соединяющие, не имеют общей внутренней точки). Каждый из отрезков $KL$ и $MN$ пересекает ломаную $a$ в четном количестве точек, а каждый из отрезков $LM$ и $NK$ – в нечетном. Ломаная $b$, наоборот, пересекает каждый из отрезков $KL$ и $MN$ в нечетном количестве точек, а каждый из отрезков $LM$ и $NK$ – в четном. Докажите, что ломаные $a$ и $b$ пересекаются.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66839

Тема:   [ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

Куб, состоящий из $(2n)^3$ единичных кубиков, проткнут несколькими спицами, параллельными рёбрам куба. Каждая спица протыкает ровно 2n кубиков, каждый кубик проткнут хотя бы одной спицей.
а) Докажите, что можно выбрать такие $2n^2$ спиц, идущих в совокупности всего в одном или двух направлениях, что никакие две из этих спиц не протыкают один и тот же кубик.
б) Какое наибольшее количество спиц можно гарантированно выбрать из имеющихся так, чтобы никакие две выбранные спицы не протыкали один и тот же кубик?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 75]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .