Поверхность выпуклого многогранника A₁B₁C₁A₂B₂C₂ состоит из восьми треугольных граней A_iB_jC_k, где i, j, k меняются от 1 до 2. Сфера с центром в точке O касается всех этих граней. Докажите, что точка O и середины трёх отрезков A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ лежат в одной плоскости.

   Решение

У выпуклого белого многогранника некоторые грани покрашены чёрной краской так, что никакие две чёрные грани не имеют общего ребра. Докажите, что если а) чёрных граней больше половины; б) сумма площадей чёрных граней больше суммы площадей белых граней, то в этот многогранник нельзя вписать шар.

   Решение

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 593]      

В ящике лежат 111 шариков: красные, синие, зелёные и белые. Известно, что если, не заглядывая в ящик, вытащить 100 шариков, то среди них обязательно найдутся четыре шарика различных цветов. Какое наименьшее число шариков нужно вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них наверняка нашлись три шарика различных цветов?

Прислать комментарий

Решение

В ящике лежат 100 шариков: белые, синие и красные. Известно, что если, не заглядывая в ящик, вытащить 26 шариков, то среди них обязательно найдутся 10 шариков одного цвета. Какое наименьшее число шариков нужно вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них наверняка нашлись 30 шариков одного цвета?

Прислать комментарий

Решение

В некотором классе при любой раздаче 200 конфет найдутся хотя бы двое школьников, получившие одинаковое количество конфет (возможно, и ни одной). Каково наименьшее количество учеников в таком классе?

Прислать комментарий

Решение

На кружок пришли четыре мальчика из 7А и четыре – из 7Б: три Лёши, три Вани и два Артёма.
Могло ли оказаться так, что у каждого из них есть хотя бы один тёзка-одноклассник, пришедший на кружок?

Прислать комментарий

Решение

В классе 28 учеников. На уроке программирования они делятся на три группы. На уроке английского языка они тоже делятся на три группы, но по-другому. И на уроке физкультуры они делятся на три группы каким-то третьим способом. Докажите, что найдутся хотя бы два ученика, которые на всех трёх занятиях находятся друг с другом в одной группе.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 593]