Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 609]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60729

Тема:   [ Китайская теорема об остатках ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Докажите что если  (m, n) = 1,  то сравнение   a ≡ b (mod mn)  равносильно одновременному выполнению двух сравнений  a ≡ b (mod m)  и  a ≡ b (mod n).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60733

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Пусть числа x₁, x₂, ..., x_m образуют полную систему вычетов по модулю m. Для каких a и b числа  y_j = ax_j + b  (j = 1, ..., m)  также образуют полную систему вычетов по модулю m?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60736  [Малая теорема Ферма]

Темы:   [ Малая теорема Ферма ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Малая теорема Ферма. Пусть p – простое число и p не делит a. Тогда  a^p–1 ≡ 1 (mod p).
Докажите теорему Ферма, разлагая  (1 + 1 + ... + 1)^p  посредством полиномиальной теоремы (см. задачу 60400).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60737

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Малая теорема Ферма ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число,  p ≠ 2, 5.  Докажите, что существует число вида 1...1, кратное p.
Придумайте два решения задачи: одно, использующее теорему Ферма (задача 60736), и второе – принцип Дирихле.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60738

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Малая теорема Ферма ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Для каких n число  n²⁰⁰¹ – n⁴  делится на 11?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 609]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями