Страница: << 74 75 76 77 78 79 80 >> [Всего задач: 490]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 31104

Темы:   [ Теория графов (прочее) ] [ Степень вершины ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Неравенство Коши ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4 Классы: 6,7,8

а) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет треугольников?
б) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет полного подграфа из четырёх вершин?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 34879

Темы:   [ Диаметр, хорды и секущие ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Принцип крайнего ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В круге провели несколько (конечное число) различных хорд так, что каждая из них проходит через середину какой-либо другой из проведённых хорд. Докажите, что все эти хорды являются диаметрами круга.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60489

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

a, b, c – целые числа; a и b отличны от нуля.
Докажите, что уравнение  ax + by = c  имеет решения в целых числах тогда и только тогда, когда c делится на  d = НОД(a, b).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64346

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

На доске написали 100 попарно различных натуральных чисел a₁, a₂, ..., a₁₀₀. Затем под каждым числом a_i написали число b_i, полученное прибавлением к a_i наибольшего общего делителя остальных 99 исходных чисел. Какое наименьшее количество попарно различных чисел может быть среди b₁, b₂, ..., b₁₀₀?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66731

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Изначально на белой клетчатой плоскости конечное число клеток окрашено в чёрный цвет. На плоскости лежит бумажный клетчатый многоугольник $M$, в котором больше одной клетки. Его можно сдвигать, не поворачивая, в любом направлении на любое расстояние, но так, чтобы после сдвига он лежал "по клеткам". Если после очередного сдвига ровно одна клетка у $M$ лежит на белой клетке плоскости, эту белую клетку окрашивают в чёрный цвет и делают следующий сдвиг. Докажите, что существует такая белая клетка, которая никогда не будет окрашена в чёрный цвет, сколько бы раз мы ни сдвигали $M$ по описанным правилам.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 74 75 76 77 78 79 80 >> [Всего задач: 490]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями