Страница:
<< 77 78 79 80
81 82 83 >> [Всего задач: 423]
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 10,11
|
Проекции двух точек на стороны четырёхугольника лежат на двух различных концентрических окружностях (проекции каждой точки образуют вписанный четырёхугольник, а радиусы соответствующих окружностей различны). Докажите, что четырёхугольник – параллелограмм.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 10,11
|
Число рёбер многогранника равно 100.
а) Какое наибольшее число рёбер может пересечь плоскость, не
проходящая через его вершины, если многогранник выпуклый?
б) Докажите, что для невыпуклого многогранника это число может
равняться 96,
в) но не может равняться 100.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 10,11
|
Докажите, что числа вида 2
n при различных целых положительных
n могут
начинаться на любую наперёд заданную комбинацию цифр.
|
|
|
Сложность: 7
Классы: 10,11
|
Вдоль стены круглой башни по часовой стрелке ходят два стражника,
причём первый из них — вдвое быстрее второго. В этой стене, имеющей
длину 1, проделаны бойницы. Система бойниц называется надёжной, если в
каждый момент времени хотя бы один из стражников находится возле бойницы.
а) Какую наименьшую длину может иметь бойница, если система, состоящая только
из этой бойницы, надежна?
б) Докажите, что суммарная длина бойниц любой надёжной системы
больше 1/2.
в) Докажите, что для любого числа s>1/2 существует надёжная система
бойниц с суммарной длиной, меньшей s.
|
|
|
Сложность: 8+
Классы: 10,11
|
Двое играют в такую игру. Один задумывает натуральное
число n, а другой задаёт вопросы типа «верно ли, что
n не
меньше x» (число x он может выбирать по своему усмотрению) и получает ответы «да» или «нет». Каждой возможной
стратегии T второго игрока сопоставим функцию
fT(
n), равную числу вопросов (до отгадывания), если было задумано
число n. Пусть, например,
стратегия T состоит в том, что сначала задают вопросы: «верно ли, что
n не меньше 10?», «верно ли, что
n не меньше 20?», ... до тех пор, пока на какой-то вопрос «верно ли, что
n не меньше 10(
k + 1)» не будет дан ответ «нет», а затем задают вопросы «верно ли, что
n не меньше
10k + 1», «верно ли, что
n не меньше
10k + 2» и так далее. Тогда
fT(n) = a + 2 + (n – a)/10, где
a — последняя цифра
числа n, то есть
fT(
n) растёт примерно
как n/10.
а) Предложите стратегию, для которой функция fT растёт медленнее.
б) Сравнивая две стратегии, удобно для произвольной стратегии Т вместо функции fT ввести функцию fT, значение которой для любого натурального числа n равно наибольшему из чисел fT(k), где k пробегает значения от 1 до n. Оцените снизу fT для произвольной стратегии T.
Страница:
<< 77 78 79 80
81 82 83 >> [Всего задач: 423]
Фильтр
