Каталог по темам

Задачи

Страница: << 79 80 81 82 83 84 85 [Всего задач: 423]

Задача 73810

Темы:	[	Неравенства с векторами	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Скалярное произведение. Соотношения	]
	[	Скалярное произведение	]
	[	Условная сходимость	]

Сложность: 9
Классы: 9,10,11

Автор: Гервер М.Л.

а) На плоскости даны n векторов, длина каждого из которых равна 1. Сумма всех n векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех k = 1, 2, ..., n выполнялось следующее условие: длина суммы первых k векторов не превышает 3.

б) Докажите аналогичное утверждение для n векторов с суммой 0, длина каждого из которых не превосходит 1.

в) Можно ли заменить число 3 в пункте а) меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в пункте б).

Прислать комментарий Решение

Задача 61394

Темы:	[	Произведения и факториалы	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Число e	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Докажите неравенства:
а)

б) при n > 1;

в) при n > 6.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111726

Темы:	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Неравенства для элементов треугольника (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]
	[	Возрастание и убывание. Исследование функций	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника.
а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний?
б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный?
в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 79 80 81 82 83 84 85 [Всего задач: 423]