Страница:
<< 24 25 26 27
28 29 30 >> [Всего задач: 838]
Пусть E, F, G – такие точки на сторонах соответственно AB,
BC, CA треугольника ABC, для которых AE : EB = BF : FC = CG : GA = k : 1, где 0 < k < 1. Найдите отношение площади треугольника, образованного прямыми AF, BG и CE, к площади треугольника ABC.
|
[Теорема Ньютона.]
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9
|
Докажите, что во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности расположены на одной прямой.
а) Точки
A1 и
B1 делят стороны
BC и
AC треугольника
ABC в отношениях
BA1 :
A1C = 1 :
p и
AB1 :
B1C = 1 :
q. В каком отношении отрезок
AA1 делится отрезком
BB1?
б) На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты точки A1 и B1. Отрезки AA1 и BB1 пересекаются в точке D. Пусть a1, b1, c и d – расстояния от точек A1, B1, C и D до прямой AB. Докажите, что 1/a1 + 1/b1 = 1/c + 1/d.
Через произвольную точку P стороны AC треугольника ABC параллельно его медианам AK и CL проведены прямые, пересекающие стороны BC и AB в точках E и F соответственно. Докажите, что медианы AK и CL делят отрезок EF на три
равные части.
На биссектрисе угла с вершиной C взята точка P. Прямая, проходящая через точку P, высекает на сторонах угла отрезки длиной a и b.
Докажите, что величина 1/a + 1/b не зависит от выбора этой прямой.
Страница:
<< 24 25 26 27
28 29 30 >> [Всего задач: 838]
Фильтр
