Каталог по темам

Задачи

Страница: << 140 141 142 143 144 145 146 >> [Всего задач: 838]

Задача 111656

Темы:	[	Отношения площадей (прочее)	]
	[	Перегруппировка площадей	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

На стороне AB четырёхугольника ABCD взяты точки A₁ и B₁, а на стороне CD – точки C₁ и D₁, причём AA₁ = BB₁ = pAB и CC₁ = DD₁ = pCD, где
p < ½. Докажите, что S_{A₁B₁C₁D₁} = (1 – 2p)S_ABCD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115655

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Перегруппировка площадей	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Подобные фигуры	]
	[	Трапеции (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Дана трапеция ABCD с основаниями AD = a и BC = b. Точки M и N лежат на сторонах AB и CD соответственно, причём отрезок MN параллелен основаниям трапеции. Диагональ AC пересекает этот отрезок в точке O. Найдите MN, если известно, что площади треугольников AMO и CNO равны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115899

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Богданов И.И.

Четырёхугольник ABCD описан около окружности, лучи BA и CD пересекаются в точке E, лучи BC и AD – в точке F. Вписанная окружность треугольника, образованного прямыми AB, CD и биссектрисой угла B, касается прямой AB в точке K, а вписанная окружность треугольника, образованного прямыми AD, BC и биссектрисой угла B, касается прямой BC в точке L. Докажите, что прямые KL, AC и EF пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116917

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Точка Лемуана	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Подобные треугольники (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Ивлев Ф.

Дан треугольник ABC. Касательная в точке C к его описанной окружности пересекает прямую AB в точке D. Касательные к описанной окружности треугольника ACD в точках A и C пересекаются в точке K. Докажите, что прямая DK делит отрезок BC пополам.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56887

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Периметр треугольника	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Точка E – середина той дуги AB описанной окружности треугольника ABC, на которой лежит точка C; C₁ – середина стороны AB. Из точки E опущен перпендикуляр EF на AC. Докажите, что:
а) прямая C₁F делит пополам периметр треугольника ABC;
б) три такие прямые, построенные для каждой стороны треугольника, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 140 141 142 143 144 145 146 >> [Всего задач: 838]