Каталог по темам

Задачи

Страница: << 157 158 159 160 161 162 163 >> [Всего задач: 829]

Задача 115955

Темы:	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Диаметр, основные свойства	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Угол между касательной и хордой	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Автор: Москвитин Н.А.

Вокруг равнобедренного треугольника ABC с основанием AC описана окружность ω. Точка F – ортоцентр треугольника ABC; продолжение высоты CE пересекает ω в точке G. Докажите, что высота AD является касательной к описанной окружности треугольника GBF.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116565

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Шмаров В.

На окружности, описанной около прямоугольника ABCD, выбрана точка K. Оказалось, что прямая CK пересекает отрезок AD в такой точке M, что
AM : MD = 2. Пусть O – центр прямоугольника. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника OKD лежит на описанной окружности треугольника COD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64922

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Фельдман Г.

В треугольнике ABC на стороне AB отметили точку D. Пусть ω₁ и Ω₁, ω₂ и Ω₂ – соответственно вписанные и вневписанные (касающиеся AB во внутренней точке) окружности треугольников ACD и BCD. Докажите, что общие внешние касательные к ω₁ и ω₂, Ω₁ и Ω₂ пересекаются на прямой AB.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66673

Темы:	[	ГМТ - прямая или отрезок	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Кухарчук И.

В треугольнике $ABC$ $I$ – центр вписанной окружности, $D$ – произвольная точка на стороне $BC$, серединный перпендикуляр к отрезку $AD$ пресекает прямые $BI$ и $CI$ в точках $F$ и $E$ соответственно. Найдите геометрическое место ортоцентров треугольников $EIF$.

Прислать комментарий Решение

Задача 108087

Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Биссектриса угла	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Евдокимов М.А.

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB и AC в точках P и Q соответственно. Пусть RS – средняя линия треугольника, параллельная AB, T – точка пересечения прямых PQ и RS. Докажите, что T лежит на биссектрисе угла B треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 157 158 159 160 161 162 163 >> [Всего задач: 829]