Версия для печати
Убрать все задачи

---

Семь лыжников с номерами 1, 2, ... , 7 ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Оказалось, что каждый лыжник ровно дважды участвовал в обгонах. (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.) По окончании забега должен быть составлен протокол, состоящий из номеров лыжников в порядке финиширования. Докажите, что в забеге с описанными свойствами может получиться не более двух различных протоколов.

   Решение

Страница: << 158 159 160 161 162 163 164 >> [Всего задач: 831]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66673

Темы:   [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанные четырехугольники ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В треугольнике $ABC$ $I$ – центр вписанной окружности, $D$ – произвольная точка на стороне $BC$, серединный перпендикуляр к отрезку $AD$ пресекает прямые $BI$ и $CI$ в точках $F$ и $E$ соответственно. Найдите геометрическое место ортоцентров треугольников $EIF$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108087

Темы:   [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Средняя линия треугольника ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Биссектриса угла ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB и AC в точках P и Q соответственно. Пусть RS – средняя линия треугольника, параллельная AB, T – точка пересечения прямых PQ и RS. Докажите, что T лежит на биссектрисе угла B треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108123

Темы:   [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В равнобедренном треугольнике ABC  (AB = BC)  средняя линия, параллельная стороне BC, пересекается со вписанной окружностью в точке F, не лежащей на основании AC. Докажите, что касательная к окружности в точке F пересекается с биссектрисой угла C на стороне AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109681

Темы:   [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Биссектриса угла ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Средняя линия треугольника ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

В треугольнике ABC  (AB > BC)  проведены медиана BM и биссектриса BL. Прямая, проходящая через точку M параллельно AB, пересекает BL в точке D, а прямая, проходящая через L параллельно BC, пересекает BM в точке E. Докажите, что прямые ED и BL перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115331

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательная окружность ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Вписанная окружность треугольника ABC имеет центр I и касается сторон AB, BC, CA в точках C₁, A₁, B₁ соответственно. Обозначим через L основание биссектрисы угла B, а через K – точку пересечения прямых B₁I и A₁C₁. Докажите, что  KL || BB₁.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 158 159 160 161 162 163 164 >> [Всего задач: 831]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями