Прямая, параллельная стороне BC треугольника ABC, пересекает стороны AB и AC в точках P и Q соответственно. Внутри треугольника APQ взята точка M. Отрезки MB и MC пересекают отрезок PQ в точках E и F соответственно. Пусть N – вторая точка пересечения описанных окружностей ω₁ и ω₂ треугольников PMF и QME. Докажите, что точки A, M и N лежат на одной прямой.

   Решение

Страница: << 58 59 60 61 62 63 64 >> [Всего задач: 1005]      

Две окружности касаются внешним образом в точке A. Прямая, проходящая через точку A, пересекает первую окружность в точке B, а вторую окружность – в точке C. Касательная в точке B к первой окружности пересекает вторую окружность в точках D и E (точка D лежит между B и E). Известно, что
AB = 5  и  AC = 4.  Найдите длину отрезка CE и расстояние от точки A до центра окружности, касающейся отрезка AD и продолжений отрезков ED и EA за точки D и A соответственно.

Прислать комментарий

Решение

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая, проходящая через точку K, пересекает первую окружность в точке L, а вторую – в точке M. Касательная к первой окружности, проходящая через точку L, пересекает вторую окружность в точках A и B (точка B лежит между A и L). Известно, что  BM = 3  и  KM = 1.  Найдите длину отрезка KL и расстояние от точки L до центра окружности, касающейся отрезка KB и продолжений отрезков AB и AK за точки B и K соответственно.

Прислать комментарий

Решение

В трапеции ABCD с боковыми сторонами  AB = 9  и  CD = 5  биссектриса угла D пересекает биссектрисы углов A и C в точках M и N соответственно, а биссектриса угла B пересекает те же две биссектрисы в точках L и K, причём точка K лежит на основании AD.
  а) В каком отношении прямая LN делит сторону AB, а прямая MK – сторону BC?
  б) Найдите отношение  MN : KL,  если  LM : KN = 3 : 7.

Прислать комментарий

Решение

В трапеции ABCD с боковыми сторонами  AB = 8  и  CD = 5  биссектриса угла B пересекает биссектрисы углов A и C в точках M и N соответственно, а биссектриса угла D пересекает те же две биссектрисы в точках L и K, причём точка L лежит на основании BC.
  а) В каком отношении прямая MK делит сторону AB, а прямая LN – сторону AD?
  б) Найдите отношение  KL : MN,  если  LM : KN = 4 : 7.

Прислать комментарий

Решение

На стороне PQ треугольника PQR взята точка N, а на стороне PR – точка L, причём  NQ = LR.  Точка A пересечения отрезков QL и NR делит отрезок QL в отношении  m : n,  считая от точки Q. Найдите отношение  PN : PR.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 58 59 60 61 62 63 64 >> [Всего задач: 1005]