Страница: << 182 183 184 185 186 187 188 >> [Всего задач: 1005]      

Окружность с центром I, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Пусть I_a, I_b, I_c – центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся соответственно сторон BC, CA, AB. Отрезки I_aB₁ и I_bA₁ пересекаются в точке C₂. Аналогично отрезки I_bC₁ и I_cB₁ пересекаются в точке A₂, а отрезки I_cA₁ и I_aC₁ – в точке B₂. Докажите, что I является центром описанной окружности треугольника A₂B₂C₂.

Прислать комментарий

Решение

Дан правильный треугольник ABC, площадь которого равна 1, и точка P на его описанной окружности. Прямые AP, BP, CP пересекают соответственно прямые BC, CA, AB в точках A', B', C'. Найдите площадь треугольника A'B'C'.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ – середины сторон BC, CA и AB соответственно. Точки B₂ и C₂ – середины отрезков BA₁ и CA₁ соответственно. Точка B₃ симметрична C₁ относительно B, а точка C₃ симметрична B₁ относительно C. Докажите, что одна из точек пересечения описанных окружностей треугольников BB₂B₃ и CC₂C₃ лежит на описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике ABC углы B и C больше 60°. Точки P, Q на сторонах AB, AC таковы, что A, P, Q и ортоцентр треугольника H лежат на одной окружности; K – середина отрезка PQ. Докажите, что  ∠BKC > 90°.

Прислать комментарий

Решение

Биссектрисы $AA_1, BB_1, CC_1$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$. Серединный перпендикуляр к отрезку $BB_1$ пересекает прямые $AA_1$, $CC_1$ в точках $A_0$, $C_0$. Докажите, что описанные окружности треугольников $A_0IC_0$ и $ABC$ касаются.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 182 183 184 185 186 187 188 >> [Всего задач: 1005]