Каталог по темам

Задачи

Страница: << 39 40 41 42 43 44 45 >> [Всего задач: 797]

Задача 55550

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Турушбаев Б.

Докажите, что если abc = 4Rrr₁, где a, b, c — стороны треугольника, R, r, r₁ — радиусы описанной, вписанной и одной из вневписанных окружностей, то треугольник прямоугольный.

Прислать комментарий Решение

Задача 56833

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 4
Классы: 8

Внутри треугольника ABC взята такая точка P, что $\angle$ PAB : $\angle$ PAC = $\angle$ PCA : $\angle$ PCB = $\angle$ PBC : $\angle$ PBA = x. Докажите, что x = 1.

Прислать комментарий Решение

Задача 56840

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 4
Классы: 8

Из точки P дуги BC описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры PX, PY и PZ на BC, CA и AB соответственно. Докажите, что ${\frac{BC}{PX}}$ = ${\frac{AC}{PY}}$ + ${\frac{AB}{PZ}}$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 56934

[Прямая Симсона]

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Прямая Симсона	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

а) Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из точки P описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой (прямая Симсона).

б) Основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки P на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой. Докажите, что точка P лежит на описанной окружности треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64357

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Полянский А., Емельянов Л.А.

Окружность с центром I, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Пусть I_a, I_b, I_c – центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся соответственно сторон BC, CA, AB. Отрезки I_aB₁ и I_bA₁ пересекаются в точке C₂. Аналогично отрезки I_bC₁ и I_cB₁ пересекаются в точке A₂, а отрезки I_cA₁ и I_aC₁ – в точке B₂. Докажите, что I является центром описанной окружности треугольника A₂B₂C₂.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 39 40 41 42 43 44 45 >> [Всего задач: 797]