Пусть A₀ – середина стороны BC треугольника ABC, а A' – точка касания с этой стороной вписанной окружности. Построим окружность Ω с центром в A₀ и проходящую через A'. На других сторонах построим аналогичные окружности. Докажите, что если Ω касается описанной окружности на дуге BC, не содержащей A, то еще одна из построенных окружностей касается описанной окружности.

   Решение

Докажите что в выпуклом многограннике есть две грани с одинаковым числом сторон.

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. Биссектриса внешнего угла при вершине C пересекает прямые AB и A₁B₁ в точках L и K соответственно. Оказалось, что  CL = 2CK.  Найдите угол C.

   Решение

Даны положительные числа a, b, c, d, причем a>b>c>d. Докажите, что (a+b+c+d)²>a²+3b²+5c²+7d².

   Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 1331]      

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BE. Найдите величину угла C, если известно, что  AD ^. BC = BE ^. AC и ACBC.

Прислать комментарий

Решение

Окружность S с центром O на основании BC равнобедренного треугольника ABC касается равных сторон AB и AC. На сторонах AB и AC взяты точки P и Q так, что отрезок PQ касается окружности S. Докажите, что тогда  4PB ^. CQ = BC².

Прислать комментарий

Решение

Вписанная окружность касается стороны BC треугольника ABC в точке K. Докажите, что площадь треугольника равна  BK ^. KCctg(/2).

Прислать комментарий

Решение

Биссектриса и высота, проведённые из одной вершины некоторого треугольника, делят его противоположную сторону на три отрезка.
Может ли оказаться, что из этих отрезков можно сложить треугольник?

Прислать комментарий

Решение

Прямая, проходящая через вершину основания равнобедренного треугольника, делит его площадь пополам, а периметр треугольника делит на части длиной 4 и 6. Найдите площадь треугольника и укажите, где лежит центр описанной окружности: внутри или вне треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 1331]