Назовём лабиринтом шахматную доску 8×8, на которой между некоторыми полями поставлены перегородки. По команде ВПРАВО ладья смещается на одно поле вправо или, если справа находится край доски или перегородка, остаётся на месте; аналогично выполняются команды ВЛЕВО, ВВЕРХ и ВНИЗ. Программист пишет программу – конечную последовательность указанных команд, и даёт её пользователю, после чего пользователь выбирает лабиринт и помещает в него ладью на любое поле. Верно ли, что программист может написать такую программу, что ладья обойдёт все доступные поля в лабиринте при любом выборе пользователя?

   Решение

Пятиугольник ABCDE, все углы которого тупые, вписан в окружность ω. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке E₁; продолжения сторон BC и DE – в точке A₁. Касательная, проведённая в точке B к описанной окружности треугольника BE₁C, пересекает ω в точке B₁; аналогично определяется точка D₁. Докажите, что  B₁D₁ || AE.

   Решение

Обозначим S(x) сумму цифр числа x . Найдутся ли три таких натуральных числа a , b и c , что S(a+b)<5 , S(a+c)<5 и S(b+c)<5 , но S(a+b+c)>50 ?

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 122]      

Докажите, что отрезок, соединяющий вершину равнобедренного треугольника с точкой, лежащей на основании, не больше боковой стороны треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что  ABC < BAC тогда и только тогда, когда AC < BC, т. е. против большего угла треугольника лежит большая сторона, а против большей стороны лежит больший угол.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что в треугольнике угол A острый тогда и только тогда, когда m_a > a/2.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC угол A больше угла B. Докажите, что длина стороны BC больше половины длины стороны AB.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC угол A больше угла B. Докажите, что длина стороны BC больше половины длины стороны AB.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 122]