Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 74]      

В коридоре длиной 100 м постелено 20 дорожек общей длиной 1 км. Ширина каждой дорожки равна ширине коридора.
Какова максимально возможная суммарная длина незастеленных участков коридора?

Подсказка

Какова минимальная длина самой длинной из дорожек?

Решение

  Оценка. Из 20 дорожек суммарной длиной  1000 = 20·50 м  длина хотя бы одной не меньше 50 м. Таким образом, даже одна из дорожек покрывает не меньше 50 м.
  Пример. Возьмём 20 дорожек по 50 м и положим их точно друг на друга.

Ответ

50 м.

Прислать комментарий

На стол положили несколько одинаковых листов бумаги прямоугольной формы. Оказалось, что верхний лист покрывает больше половины площади каждого из остальных листов. Можно ли в таком случае воткнуть булавку так, чтобы она проколола все прямоугольники?

Подсказка

Найдите общую точку двух равных прямоугольников, покрывающих более половины площади другого.

Решение

Докажем, что булавка, воткнутая в центр верхнего листа O, проколет все остальные листы. Действительно, если предположить, что некоторый лист П не покрывается точкой O, то его можно симметрично отразить относительно O, и его образ П' не будет пересекать исходный лист. Так как O - центр симметрии верхнего листа, то пересечения П и П' с верхним листом имеют равные площади, в сумме меньшие площади одного листа. А значит, верхний лист покрывает меньше половины площади листа П, что противоречит условию.

Прислать комментарий

Можно ли на плоскости разместить конечное число парабол так, чтобы их внутренние области покрыли всю плоскость?

Решение

Легко видеть, что парабола (с внутренней областью) пересекается с прямой, не параллельной её оси, по отрезку, точке или пустому множеству. Возьмём прямую, не параллельную ни одной из осей парабол. Параболы высекут на прямой конечное число отрезков, значит, не покроют даже эту прямую.

Ответ

Нельзя.

Прислать комментарий

Дан остроугольный треугольник ABC. Его покрывают тремя кругами, центры которых лежат в вершинах, а радиусы равны высотам, проведённым из этих вершин. Доказать, что каждая точка треугольника покрыта хотя бы одним из кругов.

Решение

Опустим из точки пересечения высот треугольника ABC перпендикуляры на его стороны. В результате треугольник разобьётся на три четырёхугольника. Каждый из этих четырёхугольников полностью покрыт кругом, центр которого является одной из вершин четырёхугольника.

Прислать комментарий

Круг радиуса 1 покрыт семью одинаковыми кругами. Докажите, что их радиус не меньше ½.

Решение

Предположим, что диаметр кругов меньше 1. Тогда круг, закрывший центр исходного круга, не "достанет" до его окружности. Значит, эта окружность покрыта не более чем шестью кругами. Каждый из кругов покрывает некоторую дугу окружности, длина наибольшей из этих дуг не меньше ⅙ длины окружности. Диаметр круга, покрывающего эту дугу, не меньше длины соответствующей хорды, то есть не меньше 1. Противоречие.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 74]