Страница: << 155 156 157 158 159 160 161 >> [Всего задач: 2992]      

Пусть $AL$ – биссектриса треугольника $ABC$; $X$ – произвольная точка на внешней биссектрисе угла $A$; прямые $BX$, $CX$ пересекают серединный перпендикуляр к $AL$ в точках $P$, $Q$ соответственно. Докажите, что точки $A$, $X$, $P$, $Q$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Точка $C$ лежит на биссектрисе острого угла с вершиной $S$. Точки $P$, $Q$ – проекции $C$ на стороны угла. Окружность с центром $C$ и радиусом $PQ$ пересекает стороны угла в точках $A$ и $B$, причем $SA \ne SB$. Докажите, что окружность с центром $A$, касающаяся $SB$, и окружность с центром $B$, касающаяся $SA$, касаются друг друга.

Прислать комментарий

Решение

Два концентрических круга поделены на 2k равных секторов. Каждый сектор выкрашен в белый или чёрный цвет. Доказать, что если белых и чёрных секторов на каждом круге одинаковое количество, то можно сделать такой поворот, что по крайней мере на половине длины окружности будут соприкасаться разноцветные куски.

Прислать комментарий

Решение

Точки A, B, C и D лежат на окружности. Точки M, N, K и L — середины дуг AB, BC, CD и DA, последовательно расположенных на окружности. Докажите, что хорды MK и NL перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

Продолжения биссектрис остроугольного треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Докажите, что высоты треугольника A₁B₁C₁ лежат на прямых AA₁, BB₁иCC₁.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 155 156 157 158 159 160 161 >> [Всего задач: 2992]