Каталог по темам

Задачи

Страница: << 93 94 95 96 97 98 99 >> [Всего задач: 1036]

Задача 64882

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Ясинский В.

Окружности ω₁ и ω₂ касаются друг друга внешним образом в точке P. Из точки A окружности ω₂, не лежащей на линии центров окружностей, проведены касательные AB, AC к ω₁. Прямые BP, CP вторично пересекают ω₂ в точках E и F. Докажите, что прямая EF, касательная к ω₂ в точке A, и общая касательная к окружностям в точке P пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64980

Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

В угол вписаны две окружности ω и Ω. Прямая l пересекает стороны угла в точках A и F, окружность ω в точках B и C, окружность Ω в точках D и E (порядок точек на прямой – A, B, C, D, E, F). Пусть BC = DE. Докажите, что AB = EF.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66648

Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Вписанные четырехугольники	]
	[	Теорема Паскаля	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Спиридонов И.

Пусть $E$ – одна из двух точек пересечения окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$. Пусть $AB$ – общая внешняя касательная этих окружностей, прямая $CD$ параллельна $AB$, причем точки $A$ и $C$ лежат на $\omega_1$, а точки $B$ и $D$ – на $\omega_2$. Окружности $ABE$ и $CDE$ повторно пересекаются в точке $F$. Докажите, что $F$ делит одну из дуг $CD$ окружности $CDE$ пополам.

Прислать комментарий Решение

Задача 103937

Темы:	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Наибольшая или наименьшая длина	]
	[	Периметр треугольника	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Мякишев А.Г.

Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Прямые BC и AD пересекаются в точке O, причём B лежит на отрезке O и A на отрезке OD. I – центр вписанной окружности треугольника OAB, J – центр вневписанной окружности треугольника OCD, касающейся стороны CD и продолжений двух других сторон. Перпендикуляры, опущенные из середины отрезка IJ на прямые BC и AD, пересекают соответствующие стороны четырёхугольника (не продолжения) в точках X и Y. Доказать, что отрезок XY делит периметр четырёхугольника ABCD пополам, причём из всех отрезков с этим свойством и концами на BC и AD XY имеет наименьшую длину.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108243

Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Евдокимов М.А.

В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон AB, AC и BC в точках C₁, B₁ и A₁ соответственно. Пусть K – точка на окружности, диаметрально противоположная точке C₁, D – точка пересечения прямых B₁C₁ и A₁K. Докажите, что CD = CB₁.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 93 94 95 96 97 98 99 >> [Всего задач: 1036]