Страница: << 134 135 136 137 138 139 140 >> [Всего задач: 1036]      

Две окружности радиуса R касаются в точке K. На одной из них взята точка A, а на другой — точка B, причём AKB = 90^o. Докажите, что AB = 2R.

Прислать комментарий

Решение

На стороне AB треугольника ABC выбрана точка M. В треугольнике ACM точка I₁ – центр вписанной, J₁ – центр вневписанной окружности, касающейся стороны CM. В треугольнике BCM точка I₂ – центр вписанной, J₂ центр вневписанной окружности, касающейся стороны CM. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков I₁I₂ и J₁J₂ перпендикулярна AB.

Прислать комментарий

Решение

Есть набор монет радиусами $1, 2, 3,\ldots, 10$ см. Можно положить две из них на стол так, чтобы они касались друг друга, и добавлять монеты по одной так, чтобы очередная касалась хотя бы двух уже лежащих. Новую монету нельзя класть на старую. Можно ли положить несколько монет так, чтобы центры каких-то трёх монет оказались на одной прямой?

Прислать комментарий

Решение

Точка $M$ – середина катета $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$). Перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на биссектрису угла $ABC$, пересекает гипотенузу $AB$ в точке $N$. Докажите, что окружность, описанная вокруг треугольника $ANM$, касается биссектрисы угла $ABC$.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости отмечена точка O. Можно ли так расположить на плоскости:  а) 5 кругов;   б) 4 круга, не покрывающих точку O, чтобы каждый луч с началом в точке O пересекал не менее двух кругов?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 134 135 136 137 138 139 140 >> [Всего задач: 1036]