Страница: << 127 128 129 130 131 132 133 >> [Всего задач: 776]      

На плоскости расположены три окружности Ω₁, Ω₂, Ω₃ радиусов r₁, r₂, r₃ соответственно – каждая вне двух других, причём  r₁ > r₂  и   r₁ > r₃. Из точки пересечения общих внешних касательных к окружностям Ω₁ и Ω₂ проведены касательные к окружности Ω₃, а из точки пересечения общих внешних касательных к окружностям Ω₁ и Ω₃ проведены касательные к окружности Ω₂. Докажите, что последние две пары касательных образуют четырёхугольник, в который можно вписать окружность, и найдите её радиус.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что касающиеся окружности (окружность и прямая) переходят при инверсии в касающиеся окружности или в окружность и прямую, или в пару параллельных прямых.

Прислать комментарий

Решение

Две окружности пересекаются в точках A и B. Третья окружность касается их обеих и пересекает прямую AB в точках C и D.
Докажите, что касательные к ней в этих точках параллельны общим касательным к двум первым окружностям.

Прислать комментарий

Решение

В угол вписаны три окружности $\Gamma_1$, $\Gamma_2$, $\Gamma_3$ (радиус $\Gamma_1$ наименьший, а радиус $\Gamma_3$ наибольший), притом $\Gamma_2$ касается $\Gamma_1$ и $\Gamma_3$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Пусть $l$ – касательная в точке $A$ к $\Gamma_1$. Рассмотрим все окружности $\omega$, касающиеся $\Gamma_1$ и $l$. Найдите геометрическое место точек пересечения общих внутренних касательных к парам окружностей $\omega$ и $\Gamma_3$.

Прислать комментарий

Решение

Существует ли пятиугольник со сторонами 3, 4, 9, 11 и 13 см, в который можно вписать окружность?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 127 128 129 130 131 132 133 >> [Всего задач: 776]