Страница:
<< 52 53 54 55 56 57
58 >> [Всего задач: 287]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
В окружность вписан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Пусть K – середина дуги BC, не содержащей точку A, N – середина отрезка AC, M – точка пересечения луча KN с окружностью. В точках A и C проведены касательные к окружности, которые пересекаются в точке E. Докажите, что
∠EMK = 90°.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Треугольник ABC (AB > BC) вписан в окружность Ω. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно так, что AM = CN. Прямые MN и AC пересекаются в точке K. Пусть P – центр вписанной окружности треугольника AMK, а Q – центр вневписанной окружности треугольника CNK, касающейся стороны CN. Докажите, что середина дуги ABC окружности Ω равноудалена от точек P и Q.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. Точки M и N – середины диагоналей AC и BD.
Докажите, что четырёхугольник ABCD – вписанный тогда и только тогда, когда IM : AC = IN : BD.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Даны полуокружность с диаметром AB и центром O и прямая, пересекающая полуокружность в точках C и D, а прямую AB – в точке M (MB < MA,
MD < MC). Пусть K – отличная от O точка пересечения описанных окружностей треугольников AOC и DOB. Докажите, что угол MKO – прямой.
|
|
|
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11
|
Окружность, вписанная в четырёхугольник
ABCD , касается его
сторон
DA ,
AB ,
BC и
CD в точках
K ,
L ,
M и
N
соответственно. Пусть
S1
,
S2
,
S3
и
S4
–
окружности, вписанные в треугольники
AKL ,
BLM ,
CMN и
DNK
соответственно. К окружностям
S1
и
S2
,
S2
и
S3
,
S3
и
S4
,
S4
и
S1
проведены общие касательные,
отличные от сторон четырёхугольника
ABCD . Докажите, что
четырёхугольник, образованный этими четырьмя касательными, – ромб.
Страница:
<< 52 53 54 55 56 57
58 >> [Всего задач: 287]
Фильтр
