Страница: << 216 217 218 219 220 221 222 >> [Всего задач: 2266]      

На стороне AB треугольника ABC выбрана точка D . Окружность, описанная около треугольника BCD , пересекает сторону AC в точке M , а окружность, описанная около треугольника ACD , пересекает сторону BC в точке N (точки M и N отличны от точки C ). Пусть O – центр описанной окружности треугольника CMN . Докажите, что прямая OD перпендикулярна стороне AB .

Прислать комментарий

Решение

На стороне BC треугольника ABC взяты точки K₁ и K₂. Докажите, что общие внешние касательные к вписанным окружностям треугольников ABK₁ и ACK₂ общие внешние касательные к вписанным окружностям треугольников ABK₂ и ACK₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

О выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники  ABC, BCD, CDA и DAB, равны между собой. Докажите, что ABCD — прямоугольник.

Прислать комментарий

Решение

Дан выпуклый четырехугольник ABCD;  A₁, B₁, C₁ и D₁ — центры описанных окружностей треугольников  BCD, CDA, DAB и ABC. Аналогично для четырехугольника  A₁B₁C₁D₁ определяются точки  A₂, B₂, C₂ и D₂. Докажите, что четырехугольники ABCD и  A₂B₂C₂D₂ подобны, причем коэффициент их подобия равен  |(ctgA + ctgC)(ctgB + ctgD)/4|.

Прислать комментарий

Решение

Окружности, диаметрами которых служат стороны AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD, касаются сторон CD и AB соответственно. Докажите, что BC| AD.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 216 217 218 219 220 221 222 >> [Всего задач: 2266]