Страница:
<< 107 108 109 110
111 112 113 >> [Всего задач: 996]
Дан треугольник ABC. На стороне AB как на основании построен во внешнюю сторону равнобедренный треугольник ABC' с углом при вершине 120°, а на стороне AC построен во внутреннюю сторону правильный треугольник ACB'. Точка K – середина отрезка BB'. Найдите углы треугольника KCC'.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
На диагонали $AC$ ромба $ABCD$ построен параллелограмм $APQC$ так, что точка $B$ лежит внутри него, а сторона $AP$ равна стороне ромба.
Докажите, что $B$ – точка пересечения высот треугольника $DPQ$.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Трапеция $ABCD$ вписана в окружность. Её основание $AB$ в 3 раза больше основания $CD$. Касательные к описанной окружности в точках $A$ и $C$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что угол $KDA$ прямой.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
На диагонали $AC$ квадрата $ABCD$ взята точка $P$. Пусть $H$ – точка пересечения высот треугольника $APD$, $M$ – середина $AD$ и $N$ – середина $CD$.
Докажите, что прямые $PN$ и $MH$ взаимно перпендикулярны.
Рассматривается последовательность квадратов на плоскости. Первые два
квадрата со стороной 1 расположены рядом (второй правее) и имеют одну общую
вертикальную сторону. Нижняя сторона третьего квадрата со стороной 2 содержит
верхние стороны первых двух квадратов. Правая сторона четвёртого квадрата со
стороной 3 содержит левые стороны первого и третьего квадратов. Верхняя сторона
пятого квадрата со стороной 5 содержит нижние стороны первого, второго и
четвертого квадратов. Далее двигаемся по спирали бесконечно, обходя рассмотренные квадраты против часовой стрелки так, что сторона нового квадрата составлена из сторон трёх ранее рассмотренных. Докажите, что центры всех этих квадратов принадлежат двум прямым.
Страница:
<< 107 108 109 110
111 112 113 >> [Всего задач: 996]
Фильтр
