Страница:
<< 88 89 90 91
92 93 94 >> [Всего задач: 505]
В остроугольном треугольнике проведены высоты
AA1
,
BB1
,
CC1
. На стороне
BC взята точка
K , для
которой
BB1
K = BAC , а на стороне
AB
– точка
M , для которой
BB1
M = ACB ;
L – точка пересечения высоты
BB1
и отрезка
A1
C1
. Докажите, что четырёхугольник
B1
KLM –
описанный.
Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B. Секущая,
проходящая через точку A, пересекает эти окружности вторично в
точках M и N. Касательные к окружностям S1 и S2 в точке A
пересекаются прямыми BN и BM в точках P и Q соответственно.
Докажите, что прямые PQ и MN параллельны.
Стороны четырёхугольника равны $a$, $b$, $c$ и $d$. Известно, что в этот четырёхугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Докажите, что его площадь равна $\sqrt{abcd}$.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
В сегмент, ограниченный хордой и дугой AB окружности, вписана окружность ω с центром I. Обозначим середину указанной дуги AB через M, а середину дополнительной дуги через N. Из точки N проведены две прямые, касающиеся ω в точках C и D. Противоположные стороны AD и BC четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Y, а его диагонали пересекаются в точке X. Докажите, что точки X, Y, I и M лежат на одной прямой.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Окружность S1, проходящая через вершины A и B треугольника ABC, пересекает сторону BC в точке D. Окружность S2, проходящая через вершины B и C, пересекает сторону AB в точке E и окружность S1 вторично в точке F. Оказалось, что точки A, E, D, C лежат на окружности S3 с центром O. Докажите, что угол BFO – прямой.
Страница:
<< 88 89 90 91
92 93 94 >> [Всего задач: 505]
Фильтр
