Страница: << 64 65 66 67 68 69 70 >> [Всего задач: 514]      

Вершины правильного треугольника расположены на сторонах AB, CD и EF правильного шестиугольника ABCDEF.
Докажите, что эти треугольник и шестиугольник имеют общий центр.

Прислать комментарий

Решение

Существует ли выпуклый пятиугольник (все углы меньше 180^o ) ABCDE , у которого все углы ABD , BCE , CDA , DEB и EAC – тупые?

Прислать комментарий

Решение

Даны многоугольник, прямая l и точка P на прямой l в общем положении (то есть все прямые, содержащие стороны многоугольника, пересекают l в различных точках, отличных от P). Отметим те вершины многоугольника, для каждой из которых прямые, на которых лежат выходящие из неё стороны многоугольника, пересекают l по разные стороны от точки P. Докажите, что точка P лежит внутри многоугольника тогда и только тогда, когда по каждую сторону от l отмечено нечётное число вершин.

Прислать комментарий

Решение

Выпуклый многоугольник разбит на параллелограммы. Вершину многоугольника, принадлежащую только одному параллелограмму, назовем хорошей. Докажите, что хороших вершин не менее трех.

Прислать комментарий

Решение

Дан биллиард в форме правильного 1998-угольника A₁A₂...A₁₉₉₈. Из середины стороны A₁A₂ выпустили шар, который, отразившись последовательно от сторон A₂A₃, A₃A₄, ..., A₁₉₉₈A₁ (по закону "угол падения равен углу отражения"), вернулся в исходную точку. Докажите, что траектория шара – правильный 1998-угольник.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 64 65 66 67 68 69 70 >> [Всего задач: 514]