Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 241]

Задача 57684

Тема:

[

Векторы сторон многоугольников

]

Сложность: 3
Классы: 9

Из точки, лежащей внутри выпуклого n-угольника, проведены лучи, перпендикулярные его сторонам и пересекающие стороны (или их продолжения). На этих лучах отложены векторы a₁,...,a_n, длины которых равны длинам соответствующих сторон. Докажите, что a₁ +...+ a_n = 0.

Прислать комментарий Решение

Задача 57691

Тема:

[

Скалярное произведение. Соотношения

]

Сложность: 3
Классы: 9

Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны, то и диагонали любого другого четырехугольника с такими же длинами сторон перпендикулярны.

Прислать комментарий Решение

Задача 57701

Тема:

[

Неравенства с векторами

]

Сложность: 3
Классы: 9

Даны точки A, B, C и D. Докажите, что AB² + BC² + CD² + DA² $\ge$ AC² + BD², причем равенство достигается, только если ABCD — параллелограмм.

Прислать комментарий Решение

Задача 57712

Тема:

[

Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число

]

Сложность: 3
Классы: 9

Точки A и B движутся по двум фиксированным лучам с общим началом O так, что величина ${\frac{p}{OA}}$ + ${\frac{q}{OB}}$ остается постоянной. Докажите, что прямая AB при этом проходит через фиксированную точку.

Прислать комментарий Решение

Задача 57713

Тема:

[

Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число

]

Сложность: 3
Классы: 9

Через точку M пересечения медиан треугольника ABC проведена прямая, пересекающая прямые BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что (1/ $\overline{MA_1}$ ) + (1/ $\overline{MB_1}$ ) + (1/ $\overline{MC_1}$ ) = 0 (отрезки MA₁, MB₁ и MC₁ считаются ориентированными).

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 241]