Подтемы:
-
Движения
(1036 задач)
Преобразования подобия
(386 задач)
Инверсия
(118 задач)
Проекция на прямую
(69 задач)
Композиция преобразований плоскости
(3 задачи)
Преобразования плоскости (прочее)
(10 задач)
Изогональное сопряжение
(41 задача)
Фильтр
Задачи
Страница: << 120 121 122 123 124 125 126 >> [Всего задач: 1587]
Пусть ABCD – вписанный четырёхугольник, O –
точка пересечения диагоналей AC и BD . Пусть окружности,
описанные около треугольников ABO и COD , пересекаются в
точке K . Точка L такова, что треугольник BLC подобен
треугольнику AKD . Докажите, что если четырёхугольник BLCK
выпуклый, то он он является описанным.
Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в
точке N . Хорды BA и BC внешней окружности касаются
внутренней в точках K и M соответственно. Пусть Q
и P – середины дуг AB и BC , не содержащих точку
N . Окружности, описанные около треугольников BQK и
BPM , пересекаются в точке B1 . Докажите, что
BPB1Q – параллелограмм.
На плоскости отмечены все точки с целыми координатами (x,y) такие,
что x2+y2
1010 . Двое играют в игру (ходят по очереди).
Первым ходом первый игрок ставит фишку в какую-то отмеченную точку и
стирает ее. Затем каждым очередным ходом игрок переносит фишку в
какую-то другую отмеченную точку и стирает ее. При этом длины ходов
должны все время увеличиваться; кроме того, запрещено делать ход из
точки в симметричную ей относительно центра. Проигрывает тот, кто не может
сделать ход. Кто из играющих может обеспечить себе победу, как бы ни
играл его соперник?
Проведем через основание биссектрисы угла A разностороннего треугольника
ABC отличную от стороны BC касательную к вписанной в
треугольник окружности. Точку ее касания с окружностью
обозначим через Ka . Аналогично построим точки Kb
и Kc . Докажите, что три прямые, соединяющие точки Ka ,
Kb и Kc с серединами сторон BC , CA и AB соответственно,
имеют общую точку, причем эта точка лежит на вписанной окружности.
Окружность σ касается равных сторон AB и AC равнобедренного
треугольника ABC и пересекает сторону BC в точках K и L .
Отрезок AK пересекает σ второй раз в точке M . Точки P и
Q симметричны точке K относительно точек B и C соответственно.
Докажите, что описанная окружность треугольника PMQ касается
окружности σ .
Страница: << 120 121 122 123 124 125 126 >> [Всего задач: 1587]
Задача 108139 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 108148 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 115399 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 109670 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 109847 |
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 120 121 122 123 124 125 126 >> [Всего задач: 1587]
