Страница:
<< 67 68 69 70
71 72 73 >> [Всего задач: 386]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Середина стороны треугольника и основание высоты, проведённой к этой стороне, симметричны относительно точки касания этой стороны с вписанной окружностью.
Докажите, что эта сторона составляет треть периметра треугольника.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Окружности $s_1$ и $s_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проводятся всевозможные прямые, вторично пересекающие окружности в точках $P_1$ и $P_2$. Постройте циркулем и линейкой ту прямую, для которой $P_1A\cdot AP_2$ принимает наибольшее значение.
На отрезке AC взята точка B и на отрезках AB, BC, CA как на диаметрах построены полуокружности S1, S2, S3 по одну сторону от AC.
Найдите радиус окружности, касающейся всех трёх полуокружностей, если известно, что её центр удален от прямой AC на расстояние a.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10
|
Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, M, N – середины дуг ABC и BAC описанной окружности.
Докажите, что точки M, I, N лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда AC + BC = 3AB.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
В треугольнике ABC середины сторон AC, BC, вершина C и точка пересечения медиан лежат на одной окружности.
Докажите, что она касается окружности, проходящей через вершины A, B и ортоцентр треугольника ABC.
Страница:
<< 67 68 69 70
71 72 73 >> [Всего задач: 386]
Фильтр
