Страница:
<< 70 71 72 73
74 75 76 >> [Всего задач: 386]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Вписанная окружность касается сторон треугольника ABC в точках A1, B1 и C1; точки A2, B2 и C2 симметричны
этим точкам относительно биссектрис соответствующих углов треугольника. Докажите, что A2B2 || AB и прямые AA2, BB2 и CC2 пересекаются в одной точке.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10
|
На сторонах остроугольного треугольника ABC вне него построены квадраты CAKL и CBMN. Прямая CN пересекает отрезок AK в точке X, а прямая CL пересекает отрезок BM в точке Y.
Точка P, лежащая внутри треугольника ABC, является точкой пересечения описанных окружностей треугольников KXN и LYM. Точка S – середина отрезка AB. Докажите, что ∠ACS = ∠BCP.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
На плоскости даны три прямые l1, l2, l3, образующие треугольник, и отмечена точка O – центр описанной окружности этого треугольника. Для произвольной точки X плоскости обозначим через Xi точку, симметричную точке X относительно прямой li, i = 1, 2, 3.
а) Докажите, что для произвольной точки M прямые, соединяющие середины отрезков O1O2 и M1M2, O2O3 и M2M3, O3O1 и M3M1, пересекаются в одной точке.
б) Где может лежать эта точка пересечения?
Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают его стороны в точках A1 и C1, а описанную окружность этого треугольника – в точках A0 и C0 соответственно. Прямые A1C1 и A0C0 пересекаются в точке P. Докажите, что отрезок, соединяющий P с центром вписанной окружности треугольника ABC, параллелен AC.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
Дана четырёхугольная пирамида, в которую можно вписать сферу. Точку касания этой сферы с основанием пирамиды спроектировали на рёбра основания. Докажите, что все проекции лежат на одной окружности.
Страница:
<< 70 71 72 73
74 75 76 >> [Всего задач: 386]
Фильтр
