Каталог по темам

Задачи

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 294]

Задача 57316

Тема:

[

Алгебраические задачи на неравенство треугольника

]

Сложность: 5
Классы: 8

a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что

(a + b - c)(a - b + c)(- a + b + c) $\displaystyle \leq$ abc.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57321

Тема:

[

Сумма длин диагоналей четырехугольника

]

Сложность: 5
Классы: 8

Дана замкнутая ломаная, причем любая другая замкнутая ломаная с теми же вершинами имеет большую длину. Докажите, что эта ломаная несамопересекающаяся.

Прислать комментарий Решение

Задача 57322

Тема:

[

Сумма длин диагоналей четырехугольника

]

Сложность: 5
Классы: 8

Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого имеют одинаковую длину?

Прислать комментарий Решение

Задача 67181

Темы:	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]

Сложность: 5
Классы: 7,8,9

Автор: Бродский Д.Ю.

На сторонах равностороннего треугольника $ABC$ построены во внешнюю сторону треугольники $AB'C$, $CA'B$, $BC'A$ так, что получился шестиугольник $AB'CA'BC'$, в котором каждый из углов $A'BC'$, $C'AB'$, $B'CA'$ больше $120^\circ$, а для сторон выполняются равенства $AB'=AC'$, $BC'=BA'$, $CA'=CB'$. Докажите, что из отрезков $AB'$, $BC'$, $CA'$ можно составить треугольник.

Прислать комментарий Решение

Задача 78050

Тема:

[

Неравенство треугольника

]

Сложность: 5
Классы: 9

Неравенство

Aa(Bb + Cc) + Bb(Cc + Aa) + Cc(Aa + Bb) > $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (ABc² + BCa² + CAb²),

где a > 0, b > 0, c > 0 — данные числа, выполняется для всех A > 0, B > 0, C > 0. Можно ли из отрезков a, b, c составить треугольник?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 294]