Страница: << 41 42 43 44 45 46 47 >> [Всего задач: 499]      

Дан треугольник $ABC$. На серединном перпендикуляре к отрезку $BC$ вне треугольника выбирается переменная точка $D$. Прямые $BD$ и $AC$ пересекаются в точке $C'$, а прямые $CD$ и $AB$ – в точке $B'$. Пусть $M_a$ – середина $BC$, $M$ – вторая точка пересечения окружностей $(BB'D)$ и $(CC'D)$. Докажите, что центр окружности $DMM_a$ лежит на фиксированной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Через вершины треугольника ABC проводятся три произвольные параллельные прямые d_a, d_b, d_c. Прямые, симметричные d_a, d_b, d_c относительно BC, CA, AB соответственно, образуют треугольник XYZ. Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей таких треугольников.

Прислать комментарий

Решение

Пусть AD и AE — биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника ABC и S_a — окружность с диаметром DE, окружности S_b и S_c определяются аналогично. Докажите, что:
а) окружности S_a, S_b и S_c имеют две общие точки M и N, причем прямая MN проходит через центр описанной окружности треугольника ABC;
б) проекции точки M (и точки N) на стороны треугольника ABC образуют правильный треугольник.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что изодинамические центры лежат на прямой KO, где O — центр описанной окружности, K — точка Лемуана.

Прислать комментарий

Решение

Треугольник ABC правильный, M — некоторая точка. Докажите, что если числа AM, BM и CM образуют геометрическую прогрессию, то знаменатель этой прогрессии меньше 2.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 41 42 43 44 45 46 47 >> [Всего задач: 499]