Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 [Всего задач: 135]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98353

Темы:   [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Соображения непрерывности ] [ Наименьшая или наибольшая площадь (объем) ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Контуры выпуклых многоугольников F и G не имеют общих точек, причём G расположен внутри F. Хорду многоугольника F – отрезок, соединяющий две точки контура F, назовём опорной для G, если она пересекается с G только по точкам контура: содержит либо только вершину, либо сторону G.
  а) Докажите, что найдётся опорная хорда, середина которой принадлежит контуру G.
  б) Докажите, что найдутся две такие хорды.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109674

Темы:   [ Эйлерова характеристика ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

Дан выпуклый n -угольник ( n>3 ), никакие четыре вершины которого не лежат на одной окружности. Окружность, проходящую через три вершины многоугольника и содержащую внутри себя остальные его вершины, назовем описанной. Описанную окружность назовем граничной, если она проходит через три последовательные (соседние) вершины многоугольника; описанную окружность назовем внутренней, если она проходит через три вершины, никакие две из которых не являются соседними вершинами многоугольника. Докажите, что граничных описанных окружностей на две больше, чем внутренних.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73642

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

а) Дан выпуклый многоугольник A₁A₂...A_n. На стороне A₁A₂ взяты точки B₁ и D₂, на стороне A₂A₃ – точки B₂ и D₃, ..., на стороне A_nA₁ – точки B_n и D₁ так, что если построить параллелограммы A₁B₁C₁D₁, A₂B₂C₂D₂, ..., A_nB_nC_nD_n, то прямые A₁C₁, A₂C₂, ..., A_nC_n пересекутся в одной точке. Докажите равенство  A₁B₁·A₂B₂·...·A_nB_n = A₁D₁·A₂D₂·...·A_nD_n.

б) Докажите, что для треугольника верно и обратное утверждение: если на стороне A₁A₂ выбраны точки B₁ и D₂, на стороне A₂A₃ – точки B₂ и D₃, а на стороне A₃A₁ – точки B₃ и D₁ так, что  A₁B₁·A₂B₂·A₃B₃ = A₁D₁·A₂D₂· A₃D₃,  то, построив параллелограммы A₁B₁C₁D₁, A₂B₂C₂D₂ и A₃B₃C₃D₃, получим прямые A₁C₁, A₂C₂ и A₃C₃, пересекающиеся в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109911

Темы:   [ Неравенства с трехгранными углами ] [ Четырехугольная пирамида ] [ Тетраэдр (прочее) ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Существуют ли выпуклая n -угольная ( n 4 ) и треугольная пирамиды такие, что четыре трехгранных угла n -угольной пирамиды равны трехгранным углам треугольной пирамиды?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78215

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Свойства симметрии и центра симметрии ] [ Доказательство от противного ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Малые шевеления ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Дан выпуклый многоугольник и точка O внутри него. Любая прямая, проходящая через точку O, делит площадь многоугольника пополам. Доказать, что многоугольник центрально-симметричный и O — центр симметрии.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 21 22 23 24 25 26 27 [Всего задач: 135]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями