Страница:
<< 17 18 19 20
21 22 23 >> [Всего задач: 122]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
На бесконечном белом листе клетчатой бумаги конечное число клеток окрашено в чёрный цвет так, что у каждой чёрной клетки чётное число (0, 2 или 4) белых
клеток, соседних с ней по стороне. Докажите, что каждую белую клетку можно окрасить в красный или зелёный цвет так, чтобы у каждой чёрной клетки стало поровну красных и зелёных клеток, соседних с ней по стороне.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 6,7,8,9
|
Начертите два четырехугольника с вершинами в узлах сетки,
из которых можно сложить а) как треугольник, так и пятиугольник; б) и
треугольник, и четырехугольник, и пятиугольник. Покажите, как это
можно сделать.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
|
 |
а) На рис. 1 плоскость покрыта квадратами пяти цветов. Центры квадратов одного и того же цвета расположены в вершинах сетки из одинаковых квадратов. При каком числе n цветов возможно аналогичное заполнение плоскости?
б) На рис. 2 плоскость покрыта шестиугольниками семи цветов так, что центры шестиугольников одного и того же цвета образуют вершины решётки из одинаковых правильных треугольников. При каком числе n цветов возможно аналогичное построение?
Примечание. Имеются в виду только такие заполнения плоскости фигурками (квадратами или шестиугольниками), при котором сетка, соответствующая какому-то одному цвету, имеет такие же размеры и направления сторон квадратов (или треугольников), как и сетка, соответствующая любому другому цвету (то есть все сетки должны получаться друг из друга параллельным сдвигом). |
 |
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
|
В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате, стороны которого идут по линиям сетки, по модулю не превосходит единицы.
а) Докажите существование такого числа $c$, что сумма чисел в любом прямоугольнике, стороны которого идут по линиям сетки, не больше $c$; другими словами, докажите, что суммы чисел в прямоугольниках ограничены.
б) Докажите, что можно взять $c = 4$.
в) Улучшите эту оценку – докажите, что утверждение верно для $c = 3$.
г) Постройте пример, показывающий, что при $c < 3$ утверждение неверно.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11
|
В клетчатом прямоугольнике 49×69 отмечены все
50
· 70
вершин клеток. Двое играют в следующую игру:
каждым своим ходом каждый игрок соединяет две точки отрезком,
при этом одна точка не может являться концом двух проведенных отрезков.
Отрезки могут содержать общие точки.
Отрезки проводятся до тех пор, пока точки не кончатся.
Если после этого первый может выбрать на всех проведенных отрезках направления
так, что сумма всех полученных векторов равна нулевому вектору, то он выигрывает, иначе выигрывает
второй. Кто выигрывает при правильной игре?
Страница:
<< 17 18 19 20
21 22 23 >> [Всего задач: 122]
Фильтр
