Страница:
<< 55 56 57 58 59 60
61 >> [Всего задач: 301]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Даны выпуклый многогранник и сфера, которая пересекает каждое ребро многогранника в двух точках. Точки пересечения со сферой делят каждое ребро на три равных отрезка. Обязательно ли тогда все грани многогранника:
а) равные многоугольники;
б) правильные многоугольники?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Даны n точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через каждую пару точек проведена прямая. Какое минимальное число попарно
непараллельных прямых может быть среди них?
|
|
|
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11
|
Множество, состоящее из конечного числа точек плоскости, обладает следующим свойством: для любых двух его точек
A и B существует такая
точка С этого множества, что треугольник
ABC равносторонний. Сколько точек может содержать такое множество?
|
|
|
Сложность: 6+
Классы: 9,10,11
|
На отрезке длиной 1 расположены попарно не пересекающиеся
отрезки, сумма длин которых равна
p. Обозначим эту систему
отрезков
A. Пусть
B — дополнительная система отрезков
(отрезки систем
A и
B не имеют общих внутренних точек и
полностью покрывают данный отрезок). Докажите, что существует
параллельный перенос
T, для которого пересечение
B и
T(
A)
состоит из отрезков, сумма длин которых не меньше
p(1 -
p)/2.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком, причём отрезки не пересекаются друг с другом. Первый игрок красит каждый отрезок в один из k цветов, затем второй игрок красит в один из тех же цветов каждую точку. Если найдутся две точки и отрезок между ними, окрашенные в один цвет, выигрывает первый игрок, в противном случае второй. Докажите, что первый может гарантировать себе выигрыш, если
а) k = 7; б) k = 10.
Страница:
<< 55 56 57 58 59 60
61 >> [Всего задач: 301]
Фильтр
