Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 117]      

К двум окружностям w₁ и w₂, пересекающимся в точках A и B, проведена их общая касательная CD (C и D – точки касания соответственно, точка B ближе к прямой CD, чем A). Прямая, проходящая через A, вторично пересекает w₁ и w₂ в точках и L соответственно (A лежит между K и L ). Прямые KC и LD пересекаются в точке P. Докажите, что PB – симедиана треугольника KPL (прямая, симметричная медиане относительно биссектрисы).

Прислать комментарий

Решение

Дан остроугольный треугольник $ABC$ и прямая $\ell$, которая пересекает стороны $AB$, $AC$ и прямую $BC$ в точках $C_1$, $B_1$, $A_1$ соответственно. Окружность $\omega_a$ касается прямой $BC$ в точке $A_1$ и меньшей дуги $BC$ описанной окружности треугольника $ABC$. Аналогично определяются окружности $\omega_b$, $\omega_c$. Докажите, что у окружностей $\omega_a$, $\omega_b$, $\omega_c$ есть общая касательная.

Прислать комментарий

Решение

Окружность с центром  I касается сторон  AB , BC , AC неравнобедренного треугольника  ABC в точках C₁ , A₁ , B₁ соответственно. Окружности  ω_B и  ω_C вписаны в четырехугольники  BA₁IC₁ и  CA₁IB₁ соответственно. Докажите, что общая внутренняя касательная к  ω_B и  ω_C , отличная от  IA₁ , проходит через точку  A .

Прислать комментарий

Решение

В четырёхугольнике MNPQ расположены две непересекающиеся окружности так, что одна из них касается сторон MN, NP, PQ, а другая – сторон MN, MQ, PQ. Точки B и A лежат соответственно на сторонах MN и PQ, причём отрезок AB касается обеих окружностей. Найдите длину стороны MQ, если  NP = b  и периметр четырёхугольника BAQM больше периметра четырёхугольника ABNP на величину 2p.

Прислать комментарий

Решение

Две окружности касаются друг друга внутренним образом. Известно, что два радиуса большей окружности, угол между которыми равен 60^o , касаются меньшей окружности. Найдите отношение радиусов окружностей.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 117]