Каталог по темам

Задачи

Страница: << 51 52 53 54 55 56 57 >> [Всего задач: 289]

Задача 115915

Темы:	[	Вписанные четырехугольники	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вспомогательная окружность	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

AB — хорда окружности, делящая её на два сегмента. M и N середины дуг, на которые делят окружность точки A и B . При повороте вокруг точки A на некоторый угол точка B переходит в точку B' , а точка M — в точку M' . Докажите, что отрезки, соединяющие середину отрезка BB' с точками M' и N , перпендикулярны.

Прислать комментарий Решение

Задача 52839

Темы:	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Диаметр, основные свойства	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Вспомогательная окружность	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

В выпуклом четырёхугольнике ABCD проведены диагонали AC и BD. Известно, что AD = 2, $\angle$ ABD = $\angle$ ACD = 90^o, и расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники ABD и ACD, равно $\sqrt{2}$ . Найдите BC.

Прислать комментарий Решение

Задача 111871

Темы:	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Акопян А.В.

Окружность ω с центром O вписана в угол BAC и касается его сторон в точках B и C. Внутри угла BAC выбрана точка Q. На отрезке AQ нашлась такая точка P, что AQ ⊥ OP. Прямая OP пересекает описанные окружности ω₁ и ω₂ треугольников BPQ и CPQ, вторично в точках M и N. Докажите, что OM = ON.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111716

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Даны четыре точки A , B , C , D . Известно, что любые две окружности, одна из которых проходит через A и B , а другая — через C и D , пересекаются. Докажите, что общие хорды всех таких пар окружностей проходят через одну точку.

Прислать комментарий Решение

Задача 79424

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны	]
	[	Шестиугольники	]
	[	Вспомогательная окружность	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Внутри правильного шестиугольника находится другой правильный шестиугольник с вдвое меньшей стороной.
Доказать, что центр большого шестиугольника лежит внутри малого шестиугольника.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 51 52 53 54 55 56 57 >> [Всего задач: 289]