Страница:
<< 48 49 50 51
52 53 54 >> [Всего задач: 289]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
В треугольнике
ABC на стороне
BC выбрана точка
M так, что
точка пересечения медиан треугольника
ABM лежит на описанной окружности треугольника
ACM , а
точка пересечения медиан треугольника
ACM лежит на описанной окружности треугольника
ABM .
Докажите, что медианы треугольников
ABM и
ACM из вершины
M равны.
В треугольнике
ABC угол
A равен
60
o . Пусть
BB1 и
CC1 —
биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка,
симметричная вершине A относительно прямой
B1C1 , лежит на стороне
BC .
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
На сторонах
AB и
BC параллелограмма
ABCD выбраны точки
A1 и
C1 соответственно. Отрезки
AC1 и
CA1 пересекаются в точке
P .
Описанные окружности треугольников
AA1P и
CC1P вторично пересекаются в точке
Q , лежащей внутри треугольника
ACD .
Докажите, что
PDA= QBA .
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10
|
Пусть A', B' и C' – точки касания вневписанных
окружностей с соответствующими сторонами треугольника ABC. Описанные окружности треугольников A'B'C, AB'C' и A'BC' пересекают второй раз описанную окружность треугольника ABC в точках C1, A1 и B1 соответственно. Докажите, что треугольник A1B1C1
подобен треугольнику, образованному точками касания вписанной окружности треугольника с его сторонами.
|
[Задача о бабочке]
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
Пусть A – основание перпендикуляра, опущенного из центра
данной окружности на данную прямую l. На этой прямой взяты еще две
точки B и C так, что
AB = AC. Через точки B и C проведены две произвольные секущие, из которых одна пересекает окружность в точках P и Q, вторая – в точках M и N. Пусть прямые PM и QN пересекают прямую l в точках R и S. Докажите, что AR = AS.
Страница:
<< 48 49 50 51
52 53 54 >> [Всего задач: 289]
Фильтр
