Каталог по темам

Задачи

Страница: << 47 48 49 50 51 52 53 >> [Всего задач: 289]

Задача 108202

Темы:	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Сонкин М.

Окружность с центром O вписана в треугольник ABC и касается его сторон AB, BC и AC в точках E, F и D соответственно. Прямые AO и CO пересекают прямую EF в точках M и N. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника OMN, точка O и точка D лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109795

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Акопян А.В., Емельянов Л.А.

Пусть I_A и I_B – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон BC и CA треугольника ABC соответственно, а P – точка на описанной окружности Ω этого треугольника. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных окружностей треугольников I_ACP и I_BCP, совпадает с центром окружности Ω.

Прислать комментарий Решение

Задача 53124

Темы:	[	Теорема синусов	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Вспомогательная окружность	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC перпендикуляр, проходящий через середину стороны AC, пересекает сторону BC в точке M, а перпендикуляр, проходящий через сторону BC пересекает сторону AC в точке N. Прямая MN перпендикулярна AB и MN = ${\frac{AB}{\sqrt{3}}}$ . Найдите углы треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 55186

Темы:	[	Неравенства с биссектрисами	]
	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Докажите, что в любом треугольнике большей стороне соответствует меньшая биссектриса.

Прислать комментарий Решение

Задача 78547

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Длины сторон (неравенства)	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Пирог имеет форму правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Из середин сторон проведены прямолинейные надрезы длины 1. Доказать, что при этом от пирога будет отрезан какой-нибудь кусок.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 47 48 49 50 51 52 53 >> [Всего задач: 289]