Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]

Задача 52420

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Точка Торричелли	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

На сторонах произвольного треугольника ABC во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ABC₁, A₁BC и AB₁C.
Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108882

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Замечательное свойство трапеции	]
	[	Точка Торричелли	]
	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

В треугольнике ABC ∠A = 60°. Внутри треугольника нашлась точка O, из которой все стороны видны под углом 120°. На луче CO выбрана такая точка D, что треугольник AOD – равносторонний. Серединный перпендикуляр к отрезку AO пересекает прямую BC в точке Q. Докажите, что прямая OQ делит отрезок BD пополам.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67566

Темы:	[	Инверсия (прочее)	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]
	[	Точка Лемуана	]
	[	Точка Торричелли	]
	[	Кривые второго порядка	]

Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Автор: Кузнецов С.

В треугольнике $ABC$ отмечены центроид $M$, ортоцентр $H$ и точка Лемуана $L$. Точка $S$ такова, что окружности $SLH$, $SML$ касаются $MH$, а $L'$ инверсна $L$ относительно описанной окружности. Докажите, что $SL'\parallel MH$.

Прислать комментарий Решение

Задача 116995

Темы:	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Экстремальные свойства треугольника (прочее)	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Точка Торричелли	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Фольклор

В треугольнике ABC угол B равен 60°. Точка D внутри треугольника такова, что ∠ADB = ∠ADC = ∠BDC.
Найдите наименьшее значение площади треугольника ABC, если BD = a.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65812

Темы:	[	Cфера, вписанная в призму	]
	[	Прямые и плоскости в пространстве (прочее)	]
	[	Касательные к сферам	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Точка Торричелли	]
	[	Окружность Аполлония	]
	[	Подерный (педальный) треугольник	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Богданов И.И.

В призму ABCA'B'C' вписана сфера, касающаяся боковых граней BCC'B', CAA'C, ABB'A' в точках A₀, B₀, C₀ соответственно. При этом
∠A₀BB' = ∠B₀CC' = ∠C₀AA'.
а) Чему могут равняться эти углы?
б) Докажите, что отрезки AA₀, BB₀, CC₀ пересекаются в одной точке.
в) Докажите, что проекции центра сферы на прямые A'B', B'C', C'A' образуют правильный треугольник.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]